Penrose mozaikası və ya Mərkəzi Asiya memarlarının beş əsr ərzində Avropa alimlərinin kəşfini necə gözlədikləri.Müxtəlif. Penrose mozaikası mövzusunda təqdimat. Kvazikristallar nədir

Baxış sayı: 367

“Science” jurnalının 2007-ci ilin fevral sayında amerikalı alimlər Peter Lou və Paul Steinhardt-ın orta əsr İslam memarlığı haqqında məqaləsi dərc olunub və bu məqalə dərhal elmi sensasiyaya çevrilib. Məqalə müəlliflərinin fikrincə, orta əsr məqbərələrinin, məscidlərinin və saraylarının divarlarını bəzəyən mozaika naxışları yalnız iyirminci əsrin 70-ci illərində avropalı alimlər tərəfindən aşkar edilmiş riyazi qanunlardan istifadə edilməklə hazırlanır. Deməli, orta əsr memarlarının avropalı həmkarlarını bir neçə əsr qabaqladıqları aydın şəkildə ortaya çıxır.

Bu kəşf, çox şey kimi müasir elm, olduqca təsadüfən baş verdi. 2005-ci ildə Harvard Universitetinin aspirantı Piter Lou Özbəkistana turist kimi gəlib. Abdullaxanın Buxaradakı məqbərəsinin divar dekoruna heyran qalaraq, burada vaxtilə universitetdə oxuduğu mürəkkəb həndəsi konstruksiyaların analoqunu görür. Çoxsaylı Səmərqənd ornamentlərindəki xəyali naxış formaları onun təxmininin doğruluğunu təsdiq edirdi. Evə qayıtdıqdan sonra tapdığı kəşfi şagirdinin başına danışdı tezis, Prinston Universitetinin professoru, Paul Steinhardt.

Özbəkistan, Əfqanıstan, İran, İraq, Türkiyə və Hindistanda orta əsr müsəlman memarlıq abidələrinin divar rəsmlərinin və ornamentlərinin strukturunun diqqətlə öyrənilməsi Piter Lounun təxmininin doğruluğunu təsdiqlədi və yuxarıda qeyd etdiyimiz sensasiyalı məqalənin mövzusuna çevrildi.

Peter Lou və Paul Steinhadt tərəfindən kəşfin mənasını başa düşmək üçün parket problemi, kvazikristal quruluş, qızıl nömrə və s. kimi anlayışlarla tanış olmaq lazımdır. Buna görə də, təqdimata ardıcıllıqla başlayırıq.

Parket problemi və Penrose konstruksiyaları

Riyaziyyatda boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmayan çoxbucaqlılarla müstəvini bərk doldurmaq məsələsi adlanır. parket... Hətta qədim yunanlar belə bilirdilər ki, bu problem təyyarəni düz üçbucaqlar, kvadratlar və altıbucaqlılarla örtməklə asanlıqla həll olunur.

Eyni zamanda, adi beşbucaqlılar elementar parket elementləri kimi xidmət edə bilməz, çünki boşluqlar olmadan bir müstəvidə bir-birinə möhkəm yapışdırıla bilməz. Eyni şeyi yeddi, səkkiz, doqquz, on və s. haqqında da demək olar. kvadratlar. Tədricən təyyarəni müntəzəm çoxbucaqlılarla doldurmağın yolları icad edildi. fərqli növlər və ölçüləri. Məsələn, müxtəlif ölçülü dördbucaqlı və səkkizbucaqlıları birləşdirərək təyyarəni belə doldura bilərsiniz:

Bu problemin daha mürəkkəb inkişafı, bir neçə növ çoxbucaqlılardan ibarət olan və müstəvini tamamilə əhatə edən parketin strukturunun tamamilə "düzgün" və ya "demək olar ki," dövri olmaması şərti idi. Uzun müddət bu problemin həlli olmadığına inanılırdı. Ancaq keçən əsrin 60-cı illərində hələ də həll edildi, lakin bunun üçün minlərlə çoxbucaqlılar dəsti lazım idi. fərqli növlər... Addım-addım növlərin sayı azaldı və nəhayət, 70-ci illərin ortalarında Oksford Universitetinin professoru Rocer Penrose yalnız iki növ rombdan istifadə edərək problemi həll etdi. Təyyarənin 72 və 36 ° kəskin bucaqları olan romblarla kvazperiodik (yəni demək olar ki, dövri) doldurulmasının bir variantı aşağıda göstərilmişdir. Onlara "qalın" və "nazik" romblar da deyilir.

Rombları yığarkən dövri olmayan bir nümunə əldə etmək üçün onların birləşməsi üçün bəzi qeyri-ciddi qaydalara riayət etməlisiniz. Məlum oldu ki, sadə görünən bu quruluş çox maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir. Məsələn, nazik rombların sayının qalın olanların sayına nisbətini götürsək, həmişə "qızıl nisbət" deyilən 1.618-ə bərabər olur ... Bu rəqəm "dəqiq deyil" , lakin riyaziyyatçıların dediyi kimi irrasional strukturun dövri deyil, demək olar ki, dövri olduğu ortaya çıxır. Üstəlik, bu rəqəm beşguşəli ulduzu - ideal nisbətlərə malik həndəsi fiqur sayılan pentaqramı meydana gətirən onbucaqlar daxilində seqmentlər arasındakı nisbəti müəyyənləşdirir. Qeyd edək ki, seçilmiş dekaqonlar eyni oriyentasiyaya malikdir və bu, Penrose Tile-ni təşkil edən brilyantların yerini düzəldir və müəyyən edir. Maraqlıdır ki, bu sırf həndəsi konstruksiya 1984-cü ildə kəşf edilmiş kvazikristalları təsvir etmək üçün ən uyğun riyazi model olmuşdur.

Kvazikristallar nədir

Alimlərin sırf fantaziyasının məhsulu olan riyazi konstruksiyanın gözlənilmədən necə mühüm praktik tətbiqlər tapması haqqında daha bir maraqlı əhvalatdan bəhs etmək üçün bu bölməni məqaləmizə daxil etdik.

Təbiətdəki bütün maddələri iki növə bölmək olar: atomların qarşılıqlı düzülüşündə tamamilə qanunauyğunluq olmayan amorf və ciddi nizamlı düzülüşü ilə xarakterizə olunan kristal. Kristalloqrafiya qanunlarından belə çıxır ki, kristallar üçün yalnız birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və altıncı dərəcəli simmetriya oxları mümkündür, yəni. Parketlərə bənzətməklə, təbiətdə beşinci dərəcəli simmetriyaya malik kristallar mövcud ola bilməz. Bu vəziyyət çoxölçülü fəzalarda qrupların riyazi nəzəriyyəsi əsasında ciddi şəkildə sübut edilmişdir. Ancaq təbiət, həmişə olduğu kimi, daha ixtiraçı oldu və 1984-cü ildə Shechtman qrupunun işi nəşr olundu, burada beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyası olan bir alüminium-manqan ərintisi kəşf edildiyini bildirdilər. Sonradan bir çox oxşar ərintilər indiyə qədər naməlum xassələri ilə sintez edilmişdir. Bu ərintilər kvazikristal adlanırdı və indi onlar maddənin amorf və kristal formaları arasında aralıq hesab olunurlar.

Məhz bu kəşf sayəsində kvazikristalların strukturunun modelləşdirilməsi üçün ən uyğun alət olduğu ortaya çıxan Penrosun həndəsi konstruksiyası böyük populyarlıq qazandı və daha da inkişaf etdirildi. Və buna görə də universitet kurslarına daxil edilir. Hazırda Penrouz mozaikasının üçölçülü ümumiləşdirilməsi artıq alınmışdır ki, o, nazik və qalın rombedronlardan - hər üzü romb olan altı tərəfli fiqurlardan ibarətdir.

Orta əsr mozaikasının arxasında hansı həndəsə var?

Lou və Steinhardt 3700-ə yaxın mozaika plitəsini təhlil etdikdən sonra belə bir nəticəyə gəldilər ki, 13-cü əsrin əvvəllərində məqbərələrin, məscidlərin və digər binaların beş çoxbucaqlı dəstindən, yəni bir onbucaqdan, bir dəstdən ibarət dövri mozaika ilə bəzədilməsi texnologiyası. altıbucaqlı, papyon, bütün müsəlman ölkələrində yayılmışdır.(məqalə müəlliflərinin terminologiyası), beşbucaqlı və romb. Əslində, bu, yuxarıda təsvir edilən parket probleminin beş "müsəlman" çoxbucaqlı dəstindən istifadə edərək həlli idi. Belə çoxbucaqlılardan hazırlanmış naxışlara “girih” (farscadan – düyün) deyilir.

Nəzərə alın ki, bütün çoxbucaqlıların üzləri eyni ölçüyə malikdir, bu da onları hər iki tərəfdən birləşdirməyə imkan verir. Bundan əlavə, hər bir çoxbucaqlı kafeldə dekorativ xətlər var, lakin onlar da ciddi həndəsi qaydalara uyğun olaraq çəkilir: naxışın hər hansı iki xətti hər tərəfin ortasında 72 və ya 108 ° açılarda birləşir, yəni. 36 °-ə qatlar. Bu, bir kafeldən digərinə keçərkən nümunənin ardıcıl qalmasını təmin edir.

Belə bir mozaika qurmaq üçün ixtiyarınızda bir kompas və bir hökmdarın olması kifayət idi. Yeri gəlmişkən, amerikalı alimlərin kəşfindən əvvəl belə hesab olunurdu ki, orta əsr sənətkarları binaların bəzəyini yaradan zaman ancaq hökmdar və kompas kimi ən sadə alətlərdən istifadə edirlər. İndi məlum oldu ki, bu, tamamilə doğru deyil.

XV əsr Teymurilərin hökmranlıq etdiyi ölkələrdə elmin və mədəniyyətin çiçəklənməsinin ən yaradıcı dövrü olmuşdur. Məhz bu zaman ornament sənətində keyfiyyət sıçrayışı baş verdi. İrandakı Dərbi-İmam məqbərəsi, Heratda Hacı Abdullah Ənsarinin türbəsi və başqaları kimi tədqiq edilən çoxsaylı abidələrin Teymurilər dövrünə aid olması bunu təsdiqləyir.

Bu zamana qədər ənənəvi hala gələn girih mozaikasının və "ox" və "uçurtma" həndəsi formalarının birləşməsi (yenə Lou və Steinhardt terminologiyasında) yaratmağa imkan verdi.

Penrose mozaikasını xatırladan qeyri-dövri naxışlar. Buradan belə nəticə çıxır ki, bu vaxta qədər onlar daha mürəkkəb alətlərdən istifadə etmişlər, lakin aydındır ki, 15-ci əsrdə dekorasiya texnikasında konseptual sıçrayış var idi!

Artıq sonrakı müsahibələrində, məqalə dərc edildikdən sonra Lou və Steinhardt qeyd etdilər ki, orta əsr memarlarının özləri kəşflərinin təfərrüatlarını nə qədər başa düşdüklərini deyə bilməzlər, lakin gördükləri Penrose strukturlarının analoqudur. Və onlar tamamilə əmindirlər ki, kəşf etdikləri şey sadəcə təsadüfi bir təsadüf ola bilməz.

Lirik təxribat

Bu edilir. Mən əcdadlarımızın yaratdıqlarına bənzərsiz gözəllik verən həndəsi naxışların incəliklərini başa düşə bildim və ümid edirəm ki, soydaşlarımızın marağını müəyyən qədər ödəyə bildim. Təbii ki, bir növ narazılıq qalır, çünki mən də yüzlərlə dəfə Səmərqənd ornamentlərinin gözəlliyinə, zərifliyinə heyran olmuşam. Bəs niyə bu fikir ağlımdan belə keçmədi. Özümə haqq qazandırmaq üçün yalnız onu deyə bilərəm ki, kvazperiodik Penrose strukturu universitet kurslarına daxil olanda mən artıq dar ixtisasım üzrə namizədlik dissertasiyası üzərində işləyirdim. Peter Lounun isə cəmi 28 yaşı var və universitetdə Penrose strukturlarını artıq tamamlayıb. Təbii ki, tamamilə gözlənilməz yerdə hansısa qanunauyğunluğun təzahürünü bilmək və tanımaq tamam başqa şeylərdir, lakin bunu etmək üçün ən azı belə bir qanunun mövcud olduğunu bilməlisiniz.

Amma lirik təxribat bununla bağlı deyil. “Sainz” jurnalındakı məqalənin mahiyyətini anlamaq üçün iki gün, daha doğrusu, iki yuxusuz gecə lazım oldu, amma bunu əvvəllər etməməyimin səbəbləri, mənə elə gəlir ki, dərin fəlsəfi məna daşıyır. İnternetdə Lou və Steinhardtın məqaləsini oxuyanda dərhal həndəsə sahəsində mütəxəssis olan həmkarıma zəng etdim. O, bir baxışdan söhbətin nədən getdiyini başa düşdü, amma hava limanına getməmişdən əvvəl onu tapdığımı deyərək məni əsəbləşdirdi. Cəmi üç ay sonra onun xaricə işgüzar səfərindən qayıtdığını öyrəndikdən sonra ondan xahiş etdim ki, heç olmasa Penrose-un strukturları haqqında oxuya biləcəyim bir kitab tövsiyə etsin. O, məni kitab adlandırdı və eyni zamanda əlavə etdi ki, bu, çox çətin riyaziyyatdır və çətin ki, hər şeyi tez başa düşmək, hətta daha da populyar bir şəkildə izah etmək mümkün olacaq. adi insanlar... Çoxölçülü invariant fəzalar, konyuqativ irrasional məkanın faktor-məkanı kimi anlayışlarla doldurulmuş mənə tövsiyə olunan kitabı vərəqləyəndə həvəsim tez söndü.

“Cahon” xəbər agentliyinin xəbərindən sonra təkcə elmi ictimaiyyətimizin deyil, elmi ictimaiyyətimizin də bu məsələyə marağı uçqun kimi artmağa başladı. Elmlər Akademiyasının alimləri arasında və Milli Universitet, təbii ki, başa düşən mütəxəssislər də var idi çətin məsələlər Yalan cəbrləri, qrup nəzəriyyəsi, çoxölçülü simmetriyalar və s. Amma onların hamısı yekdil fikirdə idilər ki, bunları məşhur şəkildə izah etmək mümkün deyil. Keçən gün birdən başıma bayağı bir fikir gəldi: Gözləyin. Bəs orta əsr memarları müasir riyaziyyatın ən güclü aparatına malik olmadığı üçün bu fikrə necə gəliblər? Bu dəfə mən bunu mənim üçün qaranlıq meşəyə çevrilən Penrose-nun kvazperiodik quruluşunun mürəkkəb riyazi aparatı vasitəsilə deyil, orta əsr memarlarının yolu ilə getməyə çalışmağa qərar verdim. Başlamaq üçün mən İnternetdən Lou və Steinhardt-ın orijinal məqaləsini yüklədim. Onların metodu məni heyran etdi. Kəşflərinin mahiyyətini izah etmək üçün onlar da məhz bu yolla getmişlər, yəni. orta əsr memarlarının konseptual aparatlarından istifadə etməklə və belələri ilə işləmək sadə şeylər kimi mozaika "girih", plitələr "ox", "uçurtma" və s.

Bütün bunların fəlsəfi mənası ondan ibarətdir ki, təbiətin (və bəlkə də cəmiyyətin) qanunlarını dərk etmək üçün hər kəsin eyni yolla getməsi vacib deyil. İnsan təfəkkürü də çoxölçülüdür. Şərq yanaşması və qərb yanaşması var. Və onların hər birinin mövcud olmaq hüququ var və müəyyən bir vəziyyətdə gözlənilmədən əksinə daha təsirli ola bilər. Bu vəziyyətdə də belə oldu: Qərb elmi nəhəng təcrübənin nəhəng ümumiləşdirilməsi əsasında kəşf edə bildiyini, Şərq elmi də intuisiya və gözəllik hissi əsasında etdi. Nəticələr isə göz qabağındadır: həndəsə qanunlarının praktikada praktiki şəkildə həyata keçirilməsində Şərq mütəfəkkirləri Qərb mütəfəkkirlərini beş əsr qabaqlayırdılar!

Şuxrat Eqamberdiyev.
Özbəkistan Respublikası Elmlər Akademiyasının Astronomiya İnstitutu.

Rəngli illüstrasiyalı məqalənin tam mətni ilə “Fan va turmush” jurnalının növbəti (məqalə 2008-ci ildə yazılmışdır. Aİ) – “Science and Life of Uzbekistan” sayında tanış olmaq olar.

1973-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Rocer Penrose həndəsi fiqurlardan ibarət xüsusi mozaika yaratdı və bu mozaika Penrose mozaikası kimi tanındı.
Penrose Mozaikası iki xüsusi formalı (bir qədər fərqli romblar) çoxbucaqlı plitələrdən ibarət naxışdır. Onlar boşluqlar olmadan sonsuz bir müstəvi düzəldə bilərlər.

Penrose Mozaika onun yaradıcısının versiyasında.
İki növ rombdan yığılmışdır,
biri 72 dərəcə, digəri 36 dərəcə.
Şəkil simmetrikdir, lakin dövri deyil.

Nəticədə ortaya çıxan görüntü bir növ "ritmik" ornamentə bənzəyir - tərcümə simmetriyası olan bir şəkil. Bu simmetriya növü o deməkdir ki, naxışda müstəvidə "kopyalana" bilən müəyyən bir parça seçə bilərsiniz və sonra bu "dublikatları" bir-biri ilə paralel köçürmə ilə birləşdirə bilərsiniz (başqa sözlə, fırlanma və böyüdülmədən).

Bununla belə, diqqətlə baxsanız, Penrose modelində belə təkrarlanan strukturların olmadığını görə bilərsiniz - bu, aperiodikdir. Amma məsələ optik illüziya deyil, mozaikanın xaotik olmamasıdır: onun beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyası var.

Bu o deməkdir ki, təsvir minimum 360 / n dərəcə bucaq ilə fırlana bilər, burada n simmetriya qaydasıdır, bu halda n = 5. Buna görə də, heç nəyi dəyişməyən fırlanma bucağı çoxlu olmalıdır. 360/5 = 72 dərəcə.

Təxminən on il ərzində Penrose-un ixtirası sevimli riyazi abstraksiyadan bir qədər çox hesab olunurdu. Lakin 1984-cü ildə İsrail Texnologiya İnstitutunun (Technion) professoru Dan Şextman alüminium-maqnezium ərintisinin strukturunu tədqiq edərək, bu maddənin atom qəfəsində difraksiyanın baş verdiyini aşkar etdi.

Bərk cisim fizikasında əvvəlki konsepsiyalar belə bir ehtimalı istisna edirdi: difraksiya nümunəsinin strukturu beşinci dərəcəli simmetriyaya malikdir. Onun hissələri paralel köçürmə ilə birləşdirilə bilməz, yəni o, ümumiyyətlə kristal deyil. Ancaq difraksiya yalnız kristal qəfəs üçün xarakterikdir! Alimlər razılaşdılar ki, bu variant kvazikristal adlanacaq - maddənin xüsusi vəziyyəti kimi bir şey. Bəli, kəşfin bütün gözəlliyi ondadır ki, riyazi model artıq buna hazır idi - Penrose mozaikası.

Və bu yaxınlarda məlum oldu ki, bu riyazi konstruksiya təsəvvür ediləndən daha çox ildir. 2007-ci ildə Harvard Universitetinin fiziki Peter J. Lu başqa bir fizik Paul J. Steinhardt ilə birləşərək Princeton Universitetindən Mozaika haqqında Science jurnalında məqalə dərc etdirdi. Görünür, burada çox da gözlənilməz bir şey yoxdur: kvazikristalların kəşfi bu mövzuya böyük maraq göstərdi və bu, elmi mətbuatda çoxlu nəşrlərin meydana çıxmasına səbəb oldu.

Lakin əsərin diqqət çəkən cəhəti onun müasir elmə həsr olunmaqdan uzaq olmasıdır. Və ümumiyyətlə - elm deyil. Peter Lu orta əsrlərdə tikilmiş Asiyada məscidləri əhatə edən naxışlara diqqət çəkib. Bu asanlıqla tanınan dizaynlar mozaik plitələrdən hazırlanır. Onlar girihi (ərəbcə "düyün" sözündəndir) adlanır və təmsil olunur həndəsi ornament, İslam incəsənətinə xas olan və çoxbucaqlı fiqurlardan ibarətdir.

XV əsr ərəb əlyazmasında göstərilən kafel nümunəsi.
Tədqiqatçılar təkrarlanan sahələri rənglərlə vurğuladılar.
Bütün həndəsi naxışlar bu beş element əsasında qurulur.
orta əsr ərəb ustaları. Təkrarlanan elementlər
mütləq plitələrin sərhədlərinə uyğun gəlmir.

İslam ornamentində iki üslub fərqləndirilir: həndəsi - girih və nəbati - islimi.
Girih(pers.) - düzbucaqlı və çoxbucaqlı fiqurlara stilləşdirilmiş xətlərdən ibarət mürəkkəb həndəsi ornament. Əksər hallarda məscidlərin və böyük tirajlı kitabların zahiri dekorasiyası üçün istifadə olunur.
islimi(pers.) - çəyirtkə ilə spiralın birləşməsi üzərində qurulan ornament növü. Stilize və ya naturalistik formada daim böyüyən, çiçəklənən yarpaqlı tumurcuq ideyasını təcəssüm etdirir və sonsuz sayda seçimləri ehtiva edir. Ən çox geyimdə, kitablarda, məscidlərin daxili bəzəyində, qab-qacaqda istifadə olunur.

Quranın üz qabığı 1306-1315 və həndəsi fraqmentlərin təsviri,
nümunənin əsaslandığı. Bu və aşağıdakı nümunələr uyğun gəlmir
Penrose qəfəsləri, lakin beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malikdir

Piter Lounun kəşfindən əvvəl belə hesab olunurdu ki, qədim memarlar hökmdar və kompaslardan (intuitiv olmasa da) istifadə edərək girih naxışları yaradırlar. Ancaq bir neçə il əvvəl Özbəkistanda səyahət edərkən Lu yerli orta əsr memarlığını bəzəyən mozaika naxışları ilə maraqlandı və onlarda tanış bir şey gördü. Harvarda qayıdan alim Əfqanıstan, İran, İraq və Türkiyədə orta əsrlərə aid tikililərin divarlarındakı mozaikalarda oxşar motivləri nəzərdən keçirməyə başladı.

Bu nümunə sonrakı dövrə - 1622-ci ilə (Hind məscidi) aiddir.
Ona baxıb quruluşunu çəkəndə zəhmətə heyran olmamaq olmaz
tədqiqatçılar. Və əlbəttə ki, ustaların özləri.

Peter Lou, giriçlərin həndəsi naxışlarının praktiki olaraq eyni olduğunu kəşf etdi və bütün həndəsi dizaynlarda istifadə olunan əsas elementləri vurğulaya bildi. Bundan əlavə, o, qədim sənətkarların divarları bəzəmək üçün bir növ fırıldaqçı vərəq kimi istifadə etdiyi qədim əlyazmalarda bu təsvirlərin təsvirlərini tapdı.
Bu naxışları yaratmaq üçün sadə, təsadüfi icad edilmiş konturlardan deyil, müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş fiqurlardan istifadə edirdilər. Qədim naxışlar Penrose mozaikasının dəqiq konstruksiyaları olduğu ortaya çıxdı!

Bu şəkillərdə eyni sahələr vurğulanıb
Baxmayaraq ki, bunlar müxtəlif məscidlərdən fotoşəkillərdir

İslam ənənəsində insanların və heyvanların təsvirinə ciddi qadağalar var idi, buna görə də binaların dizaynında həndəsi naxışlar çox populyarlaşdı. Orta əsr sənətkarları birtəhər onu fərqli edə bildilər. Amma onların “strategiyasının” sirri nə idi – heç kim bilmirdi. Beləliklə, sirr simmetrik qalaraq təyyarəni təkrarlamadan doldura bilən xüsusi mozaikaların istifadəsində olduğu ortaya çıxır.

Bu təsvirlərin başqa bir “hiyləsi” odur ki, müxtəlif kilsələrdə bu cür sxemləri çertyojlara uyğun “kopyalayarkən” rəssamlar istər-istəməz təhrifləri etiraf etməli olacaqlar. Ancaq bu təbiət pozuntuları minimaldır. Bu, yalnız geniş miqyaslı rəsmlərdə heç bir mənanın olmaması ilə izah olunur: əsas odur ki, şəkil qurmaq prinsipidir.

Giriçlərin yığılması üçün aralarında boş yer olmadan bir-birinə bitişik mozaikada düzəldilmiş beş növdən (on və beşbucaqlı romblar və "kəpənəklər") istifadə edilmişdir. Onlardan yaradılan mozaikalar eyni anda həm fırlanma, həm də tərcümə simmetriyasına və yalnız beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik ola bilərdi (yəni Penrose mozaikaları idi).

1304-cü il İran məqbərəsinin ornamentinin fraqmenti. Sağda - girixlərin yenidən qurulması

Lou və Steinhardt orta əsr müsəlman abidələrinin yüzlərlə fotoşəkilini araşdırdıqdan sonra oxşar cərəyanı 13-cü əsrə aid edə bildilər. Tədricən bu üsul getdikcə populyarlaşdı və 15-ci əsrə qədər geniş yayıldı. Tanışlıq təxminən sarayların, məscidlərin, müxtəlif mühüm tikililərin müxtəlif poliqonlar şəklində şirli rəngli keramik plitələrlə bəzədilməsi texnikasının inkişaf dövrünə təsadüf edir. Yəni, giriçlər üçün xüsusi formalı keramik plitələr yaradılmışdır.

Tədqiqatçılar 1453-cü ilə aid İranın İsfahan şəhərində İmam Dərbi-i ziyarətgahını demək olar ki, ideal kvazristal quruluşa nümunə hesab ediblər.

İsfahanda (İran) İmam Dərb-i hərəminin portalı.
Burada iki girih sistemi eyni anda bir-birinin üstünə qoyulur.

Türkiyədə bir məscidin həyətinin sütunu (təxminən 1200)
və İranda mədrəsələrin divarları (1219). Bunlar ilkin əsərlərdir
və Lu tərəfindən tapılan struktur elementlərdən yalnız ikisini istifadə edirlər

İndi girih və Penrose mozaikasının tarixinin bir sıra sirlərinə cavab tapmaq qalır. Qədim riyaziyyatçılar kvazikristal strukturları necə və nə üçün kəşf etdilər? Orta əsr ərəbləri mozaikaya bədii mənadan başqa bir məna veriblərmi? Niyə belə maraqlı bir riyazi anlayış yarım minillik ərzində unudulmuşdu? Və ən maraqlısı - əslində yaxşı unudulmuş köhnə olan başqa hansı müasir kəşflər yenidir?

Varlıq haqqında Penrose mozaikaları hamı bilmir və daha çox bu heyrətamiz mozaika bəzən sözün əsl mənasında ayaqların altındadır.
Mən və ərim Finlandiyada oğlumuzun ailəsində qonaq olanda, əlbəttə ki, rahat və baxımlı Helsinki şəhərini gəzirik. Bizim qalmağımızın proqramına mərkəzdə Keskuskatu küçəsində yerləşən, rus dilində Mərkəzi küçə mənasını verən Akateeminen Kirjakauppa Akademik Kitab Mağazasına baş çəkmək daxil olmalıdır. Bu kitab mağazasına baş çəkmək bizə estetik zövq verir və Finlandiyada kitablar baha olsa da, biz həmişə çiçəklər və bitkilər haqqında ən azı kiçik, gözəl təsvirli kitab almaq istəyirik.
Bir dəfə ixtisasca riyaziyyatçı olan oğlum bu piyada küçəsi ilə gedərkən bizə məsləhət gördü ki, diqqətlə düşünək. plitələr ilə səthin döşənməsi... O, belə olduğunu izah etdi Penrose mozaikası.

Əlbəttə ki, hamımız plitələri görmüşük. Çox vaxt kvadrat formada olur. Kafellərdən müxtəlif gözəl naxışlar çəkilir.

Bəzən plitələr istifadə olunur müxtəlif formalar və ölçüləri, lakin səth örtüyünün ümumi görünüşü hələ də kvadratdır.

Bəzən plitələr pilləli və ya kvadrat olmayan plitələr istifadə olunur.

Lakin bütün bu nümunələr yenə də təkrarlanan hissələrdən ibarətdir.

Helsinkidə Keskuskatu küçəsində plitələr elə düzülür ki nümunə təkrarlanmır.

1964-cü ilə qədər heç kim, nümunəni təkrarlamadan bir təyyarənin döşənməsi üçün istifadə edilə bilən belə bir plitələr dəstini hazırlamaq mümkün olduğuna inanmırdı.
1964-cü ildə riyaziyyatçı Robert Berger belə bir dəst hazırladı. Təəssüf ki, bu dəstdə müxtəlif formalı və ölçülü 20.426 plitələr var idi.
Demək olar ki, dərhal, o, bir dəstdəki müxtəlif plitələrin sayını 104 növə qədər necə azaltacağını anladı.
1968-ci ildə məşhur riyaziyyatçı Donald Knuth müxtəlif plitələrin sayını 92-yə endirdi.

1971-ci ildə Raphael Robinson təyyarəni təkrarlamadan asfaltlamaq üçün istifadə edilə bilən cəmi altı plitədən ibarət belə bir dəst hazırladı. Ancaq yəqin ki, onları banyonuzda istifadə etmək istəməyəcəksiniz.

1973-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Rocer Penrose altı gözəl plitədən ibarət bir dəst hazırladı. Bu plitələrlə hətta çox böyük bir mərtəbə nümunəni təkrar etməyəcəkdir.

Əsl şöhrət Roger Penrose, təkrarlanmayan bir naxış yaratmaq üçün sadəcə iki növ plitənin kifayət etdiyini kəşf etdikdə gəldi. Bu plitələr həndəsi formalardır - bir-birindən bir qədər fərqli olan almazlar.
Bu, riyaziyyatçı Rocer Penrozun təkrar olunmayan səthə qarşı çəkdiyi fotoşəkildir.
Təyyarə döşənməsi təkrar olunmayan ornament plitələr indi adlanır Penrose mozaikası.

Yaranan səki, mozaika müəyyən bir simmetriya xassəsinə malik olduğu kimi görünür, həndəsi naxışın bir hissəsi paralel olaraq, dönmədən köçürülə bilər və hissələri bir-biri ilə birləşdirilə bilər.

Əslində, Penrose mozaikasını daha yaxından araşdırdıqda, nümunənin dövri olmadığını, eyni zamanda naxışın xaotik olmadığını görmək olar. Həndəsi Penrose naxışının simmetriyası fırlanma adlanır, lakin ciddi şəkildə riyazi olaraq beşinci sıradır.

Təxminən on il ərzində Rocer Penrozun riyazi ixtirası heç bir tətbiq dəyərinə malik deyildi və əsasən riyaziyyatçılara məlum idi. Lakin 1984-cü ildə bərk cisim fizikasını öyrənən israilli professor Dan Şextman alüminium-maqnezium ərintisinin atom qəfəsi üzərində beşinci dərəcəli difraksiyanı kəşf etdi. Bu fenomeni müzakirə edərkən elm adamları riyazi model kimi artıq məşhur olan Penrose mozaikasını götürdülər.

Sonralar məlum oldu ki, səthi boşluqsuz və bir-biri ilə üst-üstə düşən həndəsi fiqurlarla örtmək hələ orta əsrlərdə İslam sənətində geniş istifadə olunub. Asiyada məscidlər mozaik həndəsi ornamentlərlə örtülmüşdür. Qədim əlyazmalarda divarları bəzəyən naxışların xaotik olmadığını, ciddi ardıcıllıqla düzülmüş müəyyən fiqurlardan ibarət olduğunu göstərən diaqramlar tapılmışdır. İslam incəsənətində heyvanların və ya insanların təsvirləri qadağan olunduğu üçün qədim ustalar məbədləri həndəsi ornamentlərlə bəzəmişlər.
Təkrarlanmayan ornamentlərin geniş çeşidi heyranlıq və təəccüb doğurur. Səbəb dəqiq olaraq ondan ibarətdir ki, xüsusi növ mozaikalardan istifadə edilmişdir, onların çoxu beşinci dərəcəli eyni fırlanma simmetriyasına malik idi və əslində Penrose mozaikaları idi. Burada riyaziyyatın rolunun çox böyük olduğunu güman etmək olar orta əsr sənətiİslam.

Aşağıda bir fotoşəkilə baxmağı təklif edirəm Penrose mozaikası ilə plitələr Helsinkidə Keskuskatu piyada küçəsi. Səthi isə boşluq və ya üst-üstə düşmədən kirəmitlə döşənir nümunə heç bir yerdə təkrarlanmır.

Ayıb! Orta əsrlərin insanları müasir alimləri üstələyiblər. Düşündük ki, qabaqcıl riyaziyyat və kristalloqrafiya bizim nailiyyətlərimizdir. Belə çıxır ki, belə bir şey yoxdur - bütün bunlar artıq yarım min il əvvəl olub. Bundan əlavə, müasir elmi, deyəsən, ən yaxşı riyaziyyatçılar deyil, sadə sənətkarlar üstələyiblər. Yaxşı, bəlkə çox sadə deyil ... Amma yenə də!

Xeyr, yaxşı, əslində - müasir riyaziyyatçılar açıq cəfəngiyatla məşğuldurlar! Sonra kağız 12 dəfə qatlanır, sonra Lorenz tənlikləri toxunur, sonra toplar dönərlərə bükülür. Ümumiyyətlə, ciddi insanlardan yalnız Perelman və Okunkov qaldı - bütün ümid onlaradır ...

Ancaq maraqlıdır ki, insanlar antik dövrdə riyazi nailiyyətlər əldə etdilər, bəzən onlara xüsusi əhəmiyyət vermədilər. Həm də maraqlıdır ki, elm adamları bir əsrdən artıqdır ki, öz təxminləri olmadan mövcud olan bir şeyi icad etdiklərinə heç bir şübhə etmədən, bu gün eyni "köhnə" kəşfləri təkrarlayırlar.

Məsələn, ingilis riyaziyyatçısı Rocer Penrose 1973-cü ildə belə bir şey - həndəsi fiqurların xüsusi mozaikasını təklif etdi. Bu, müvafiq olaraq Penrose mozaikasına çevrildi. Bunda bu qədər konkret nədir?

Penrose Mozaika onun yaradıcısının versiyasında. O, biri 72 dərəcə, digəri 36 dərəcə bucaq olmaqla iki növ rombdan yığılmışdır. Ondan olan şəkil simmetrikdir, lakin dövri deyil (en.wikipedia.org saytından illüstrasiya).

Penrose Mozaikası iki xüsusi formalı (bir qədər fərqli romblar) çoxbucaqlı plitələrdən ibarət naxışdır. Onlar boşluqlar olmadan sonsuz bir müstəvi düzəldə bilərlər.

Nəticədə ortaya çıxan görüntü bir növ "ritmik" ornamentə bənzəyir - tərcümə simmetriyası olan bir şəkil. Bu simmetriya növü o deməkdir ki, naxışda müstəvidə "kopyalana" bilən müəyyən bir parça seçə bilərsiniz və sonra bu "dublikatları" bir-biri ilə paralel köçürmə ilə birləşdirə bilərsiniz (başqa sözlə, fırlanma və böyüdülmədən).

Bununla belə, diqqətlə baxsanız, Penrose modelində belə təkrarlanan strukturların olmadığını görə bilərsiniz - bu, aperiodikdir. Amma məsələ optik illüziya deyil, mozaikanın xaotik olmamasıdır: onun beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyası var.

Kvazipoladlara misal olaraq AlMnPd ərintisi və Al 60 Li 30 Cu 10 (Paul J. Steinhardt tərəfindən təsvir) misal ola bilər.

Bu o deməkdir ki, şəkil minimum 360 / bucaq altında fırlana bilər. n dərəcə harada n- bu halda simmetriya qaydası n= 5. Odur ki, heç nəyi dəyişməyən fırlanma bucağı 360/5 = 72 dərəcənin qatı olmalıdır.

Təxminən on il ərzində Penrose-un ixtirası sevimli riyazi abstraksiyadan bir qədər çox hesab olunurdu. Lakin 1984-cü ildə İsrail Texnologiya İnstitutunun (Technion) professoru Dan Şextman alüminium-maqnezium ərintisinin strukturunu tədqiq edərək, bu maddənin atom qəfəsində difraksiyanın baş verdiyini aşkar etdi.

Bərk cisim fizikasında əvvəlki konsepsiyalar belə bir ehtimalı istisna edirdi: difraksiya nümunəsinin strukturu beşinci dərəcəli simmetriyaya malikdir. Onun hissələri paralel köçürmə ilə birləşdirilə bilməz, yəni o, ümumiyyətlə kristal deyil. Ancaq difraksiya yalnız kristal qəfəs üçün xarakterikdir!

Burada necə olmaq olar? Sual asan deyil, ona görə də elm adamları razılaşdılar ki, bu variant kvazikristal adlanacaq - maddənin xüsusi vəziyyəti kimi bir şey.

Burada 15-ci əsr ərəb əlyazmasında göstərilən kafel naxışlarından biri göstərilir. Tədqiqatçılar təkrarlanan sahələri rənglərlə vurğuladılar. Lou və Steinhardt tərəfindən öyrənilən orta əsr ərəb ustalarının bütün həndəsi naxışları bu beş elementə əsaslanır. Gördüyünüz kimi, təkrarlanan elementlər mütləq plitələrin sərhədləri ilə uyğun gəlmir (illüstrasiya Peter J. Lu).

Yaxşı, kəşfin bütün gözəlliyi, təxmin etdiniz, riyazi modelin çoxdan buna hazır olmasıdır. Və yəqin ki, başa düşdüyünüz kimi, bu Penrose mozaikasıdır. Ancaq bu, heç on yaşında deyil, daha çoxdur. Bu, yalnız bizim günlərdə, XXI əsrin əvvəllərində məlum oldu və bu model təsəvvür edə biləcəyimizdən daha qədim oldu.

2007-ci ildə Harvard Universitetinin fiziki Peter J. Lu Prinston Universitetindən olan başqa fizik Paul J. Steinhardt ilə birləşərək Science jurnalında mozaika haqqında məqalə dərc etdi. Penrose (Lou "Membranes" jurnalının daimi oxucularına məlum olmalıdır. " - biz artıq onun qədim baltaları almazla kəsmə kəşfləri və ən mürəkkəb köhnə maşınlar haqqında danışdıq). Görünür, burada çox da gözlənilməz bir şey yoxdur: kvazikristalların kəşfi bu mövzuya böyük maraq göstərdi və bu, elmi mətbuatda çoxlu nəşrlərin meydana çıxmasına səbəb oldu.

Lakin əsərin diqqət çəkən cəhəti onun müasir elmə həsr olunmaqdan uzaq olmasıdır. Və ümumiyyətlə - elm deyil.

“Kvazikristal” naxışlar təkcə memarlıqda öz yerini tapmayıb. Burada siz 1306-1315-ci illərə aid Quranın üz qabığını və naxışın əsaslandığı həndəsi fraqmentlərin rəsmini görə bilərsiniz. Bu və aşağıdakı nümunələr Penrose qəfəslərinə uyğun gəlmir, lakin beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malikdir (illüstrasiya Peter J. Lu).

Lu Asiyada orta əsrlərdə tikilmiş məscidləri əhatə edən naxışlara diqqət çəkib. Bu asanlıqla tanınan dizaynlar mozaik plitələrdən hazırlanır. Onlar girihi (ərəbcə “düyün” sözündəndir) adlanır və İslam sənətinə xas olan və çoxbucaqlı formalardan ibarət həndəsi naxışdır.

Uzun müddət bu naxışların bir hökmdar və kompasdan istifadə edilərək yaradıldığına inanılırdı. Ancaq bir neçə il əvvəl Özbəkistanda səyahət edərkən Lu yerli orta əsr memarlığını bəzəyən mozaika naxışları ilə maraqlandı və onlarda tanış bir şey gördü.

Harvarda qayıdan alim Əfqanıstan, İran, İraq və Türkiyədə orta əsrlərə aid tikililərin divarlarındakı mozaikalarda oxşar motivləri nəzərdən keçirməyə başladı.

O, bu naxışların təxminən eyni olduğunu gördü və bütün həndəsi dizaynlarda istifadə olunan girihlərin əsas elementlərini vurğulaya bildi. Bundan əlavə, o, qədim sənətkarların divarları bəzəmək üçün bir növ fırıldaqçı vərəq kimi istifadə etdiyi qədim əlyazmalarda bu təsvirlərin təsvirlərini tapdı.

Ancaq bütün bunlar, belə çıxır ki, o qədər də vacib deyil. Bu naxışları yaratmaq üçün sadə, təsadüfi icad edilmiş konturlardan deyil, müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş fiqurlardan istifadə edirdilər. Və bu xüsusilə təəccüblü deyil.

Əsl maraqlısı odur ki, insanlar belə sxemləri unudaraq, sonradan onlarla yenidən görüşüblər. Bəli, bəli, qədim naxışlar əsrlər sonra Penrose qəfəsləri adlanacaq və kvazikristalların strukturunda tapılacaqlardan başqa bir şey deyil!

Bu şəkillərdə eyni sahələr vurğulanır, baxmayaraq ki, onlar müxtəlif məscidlərdən olan fotoşəkillərdir (illüstrasiya Peter J. Lu).

İslam ənənəsində insanların və heyvanların təsvirinə ciddi qadağalar var idi, buna görə də binaların dizaynında həndəsi naxışlar çox populyarlaşdı. Orta əsr sənətkarları birtəhər onu fərqli edə bildilər. Amma onların “strategiyasının” sirri nə idi – heç kim bilmirdi. Beləliklə, sirr simmetrik qalaraq təyyarəni təkrarlamadan doldura bilən xüsusi mozaikaların istifadəsində olduğu ortaya çıxır.

Bu təsvirlərin başqa bir “hiyləsi” odur ki, müxtəlif kilsələrdə bu cür sxemləri çertyojlara uyğun “kopyalayarkən” rəssamlar istər-istəməz təhrifləri etiraf etməli olacaqlar. Ancaq bu təbiət pozuntuları minimaldır. Bu, yalnız geniş miqyaslı rəsmlərdə heç bir mənanın olmaması ilə izah olunur: əsas odur ki, şəkil qurmaq prinsipidir.

Giriçlərin yığılması üçün aralarında boş yer olmadan bir-birinə bitişik mozaikada düzəldilmiş beş növdən (on və beşbucaqlı romblar və "kəpənəklər") istifadə edilmişdir. Onlardan yaradılan mozaikalar eyni anda həm fırlanma, həm də tərcümə simmetriyasına və yalnız beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik ola bilərdi (yəni Penrose mozaikaları idi).

1304-cü il İran məqbərəsinin ornamentinin fraqmenti. Sağda giriçlərin yenidən qurulmasıdır (illüstrasiya Peter J. Lu).

Lou və Steinhardt orta əsr müsəlman abidələrinin yüzlərlə fotoşəkilini araşdırdıqdan sonra oxşar cərəyanı 13-cü əsrə aid edə bildilər. Tədricən bu üsul getdikcə populyarlaşdı və 15-ci əsrə qədər geniş yayıldı.

Tədqiqatçılar 1453-cü ilə aid İranın İsfahan şəhərində İmam Dərbi-i ziyarətgahını demək olar ki, ideal kvazristal quruluşa nümunə hesab ediblər.

Bu kəşf bir çox insanı heyran etdi. Amerika Elmin İnkişafı Assosiasiyası (

Mozaika nədir

Təbiətdəki mozaika

Escherin rəsmlərindəki mozaikalar

Penrose Mozaika nədir?

Çoxbucaqlı Mozaika Plitələr

Mozaika simmetriyası

Simmetriya

10. Mozaikanın quruluşu

11. Minimum bucaq

12. Qeyri-adi hadisə

13. "Yanlış" kristallar

14. Kvazikristallar

15.

16. Kvazikristallara maraq

17. Asiyada naxışlar

18.

19. İslimi

20. Özbəkistanın mozaikaları

21. Müxtəlif ölkələrin mozaikaları

22. İslam mozaikaları

23. Girihlərin sxemləri

24. Sifariş qurun

25.

26. Qədim ustaların sirri

27. "fokus"

28. Kafel

29. Mozaikaların simmetriyası

30. Girihi

31. Mozaikanın yaranma tarixi

32. Keramika plitələr

33. Nəticə