Qrupların bölünməsi. Normal qrup bölücülər. Müstəqil həll üçün tapşırıqlar

Məqsəd 1. A) tam ədədlər toplusu üçün qrup aksiomalarının yerinə yetirilməsini yoxlayın; b) cüt tam ədədlər; c) əlavə əməliyyatına nisbətən tək tam ədədlər.

Həll. Z 2 n - cüt ədədlər toplusu və Z 2 n -1 - tək ədədlər toplusu ilə işarə edək. Z dəsti və Z 2 n dəsti əlavə edilməklə bağlanır. Həqiqətən, iki tam ədə əlavə etmək tam ədədi verir; iki cüt tam əlavə etsək, bərabər bir tam da alırıq. Əksinə, iki tək rəqəmin əlavə edilməsi tək bir rəqəmlə nəticələnmir, bu da Z 2 n -1 çoxluğunun əlavə əməliyyatına görə bağlanmadığını göstərir.

Qrupun digər aksiomalarının yerinə yetirilməsini yoxlayaq. Əlavə birləşdirmə əməliyyatıdır. Əlavə ilə əlaqədar olaraq Z və Z 2 n çoxluqlarındakı neytral element 0-dur. Bundan əlavə, hər hansı bir tam (hətta tam ədəd) üçün əks rəqəm də bir tamdır (hətta tam).

Beləliklə, belə nəticəyə gələ bilərik və
– qruplar və
bir qrup tərifini, eyni zamanda monoid və yarımqrupun təriflərini təmin etmir.

Üstəlik hər iki qrup da
və
komutativdir (abeli), çünki əlavə komutativdir.

Məqsəd 2. Cüt tamların çoxluğunun əlavə ədədi qrupunun alt qrupunu təşkil etdiyini sübut edin.

Həll.Əvvəllər sübut olundu
– Qrup. Burada
... Beləliklə, sübut olunur
– qrup alt qrupu
.

Məqsəd 3. Bir qrupun bitişik siniflərini tapın
alt qrup üzrə
.

Həll... Rahatlıq üçün işarə edirik
... Bir qrupun sol kosetləri
alt qrup üzrə
aşağıda təqdim olunur:

Aydındır ki, sol kosetlər müvafiq sağ kosetlər ilə eynidir. Bu, əlavənin komutativliyinin nəticəsidir. Buna görə, cüt ədədlər qrupu, əlavə ədədi qrupunun normal bölücüdür.

Bu nümunə, digər şeylər arasında kosetlər haqqında bir sıra əsas həqiqətləri göstərir:

a) kosetlərdən biri H altqrupunun özüdür (bu halda H + 0 kosetidir);

b) hər hansı iki koset ya üst-üstə düşür (məsələn, H + 0 və H + 2) və ya ümumiyyətlə kəsişmir (məsələn, H + 0 və H + 1);

c) kosetlər dəsti (məsələn, sollar) qrupun dəstəyinin bir hissəsini təşkil edir; bu halda
.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar

Təriflər

Alt qrup N qrup Gçağırdı normal konjugasiya altında dəyişməzsə, yəni hər hansı bir element üçün n dan N və hər hansı bir g dan G, element gng − 1 yatır N :

Bir alt qrup üçün aşağıdakı normallıq şərtləri ekvivalentdir:

Vəziyyət (1) məntiqi olaraq (2) -dən, şərt (3) isə (4) -dən məntiqlə zəifdir. Buna görə (1) və (3) şərtləri bir alt qrupun normallığını sübut etmək üçün, (2) və (4) şərtləri isə normallığın nəticələrini sübut etmək üçün tez-tez istifadə olunur.

Nümunələr

• {e) və G- həmişə normal alt qruplar G... Onlara əhəmiyyətsiz deyilir. Başqa normal alt qruplar yoxdursa, o zaman qrup G sadə adlanır.

• Qrupun mərkəzi normal bir alt qrupdur.

• Bir qrupun komutatoru normal bir alt qrupdur.

• Hər hansı bir xarakterik alt qrup normaldır, çünki konjugasiya həmişə avtomorfizmdir.

• Bütün alt qruplar N abeli qrupu G normal ildən gN = Ng ... Hər hansı bir alt qrupun normal olduğu Abeli ​​olmayan bir qrupa Hamiltonian deyilir.

• Hər hansı bir ölçülü bir məkanda paralel tərcümələr qrupu, Öklid qrupunun normal alt qrupudur; məsələn, üç ölçülü məkanda dönün, dəyişin və içəridə dönün tərs tərəf sadə bir dəyişikliyə gətirib çıxarır.

• Rubik kub qrupunda, yalnız künc elementləri üzərində işləyən əməliyyatlardan ibarət olan alt qrup normaldır, çünki heç bir konjuge transformasiya belə bir əməliyyatı künc elementində deyil, kənar elementdə hərəkət etməyə məcbur etməz. Bunun əksinə olaraq, yalnız yuxarı üzün fırlanma hissəsinin bir hissəsi normal deyil, çünki filetlər yuxarı üzün hissələrini aşağıya doğru hərəkət edirlər.

Xüsusiyyətlər

• Normallıq, surjective homomorfizmlər və geri çəkilmələr altında qorunur.
• Doğrudan bir məhsul qurarkən normallıq qorunur.
• Normal bir alt qrupun normal alt qrupu bir qrupda normal olmalı deyil, yəni normallıq keçici deyil. Ancaq normal alt qrupun xarakterik alt qrupu normaldır.
• İndeks 2-nin hər bir alt qrupu normaldır. Əgər səh- sifarişin ən kiçik baş bölgüsü G, sonra indeksin hər hansı bir alt qrupu səh normal.
• Əgər N- normal alt qrup G, sonra solda (sağda) kosetlər dəstində G / N qaydaya görə bir qrup quruluşuna daxil ola bilərsiniz

• N yalnız sol kosetlərdə əhəmiyyətsiz hərəkət etsə normaldır G / N .

Tarixi faktlar

Evariste Galois, normal alt qrupların əhəmiyyətini ilk dəfə başa düşdü.

Links

• Vinberg E. B. Cəbr kursu - Moskva: Faktorial Mətbuat Nəşriyyatı, 2002, ISBN 5-88688-060-7

Vikimedia Fondu. 2010.

• Normal Markov alqoritmi
• Normal elektrod potensialı

Digər lüğətlərdə "Normal bölücü" nədir:

Normal bölücü- E. Galois tərəfindən təqdim olunan qrup nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri olan dəyişməz bir alt qrup (bax Qrup). G qrupunun diferensial qrupu, H qrupunun g elementinin hər hansı bir seçimi üçün gH = Hg olduğu H altqrupudur ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

NORMAL DIVIDER- normal bir alt qrup, dəyişməz bir alt qrup, G qrupunun H alt qrupu, bunun üçün G qrupunun H alt qrupu üzərində sol tərəfli parçalanması G qrupunun sağ tərəfli parçalanması ilə üst-üstə düşür, yəni belə bir alt qrup hər hansı bir element üçün aH və Ha kosetləri bərabərdir (... mənasında ... Riyaziyyat Ensiklopediyası

Normal alt qruplar sırası- Üçün ümumi təsviri qrup nəzəriyyəsi, bax Qrup (riyaziyyat) və Qrup nəzəriyyəsi. Kursiv növü bu lüğətə bir keçid deməkdir. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Normal sıra- Qrup nəzəriyyəsinin ümumi təsviri üçün Qrup (riyaziyyat) və Qrup nəzəriyyəsinə baxın. Kursiv növü bu lüğətə bir keçid deməkdir. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U ... Vikipediya topoloji qrup kimi kompakt bir topoloji qrupdur. yer. Məsələn, hər bir sonlu qrup (diskret topologiyada) kompakt bir topoloji qrup olmasına baxmayaraq K. cəbri qrupdur. məkan (Zariski topologiyasına münasibətdə) ... Riyaziyyat Ensiklopediyası

LEE - KOHINA NƏZƏRİ- GL (V) qrupunun həll edilə bilən altqrupu (V cəbri olaraq bağlanmış sahə üzərində sonlu bir ölçülü vektor boşluğudur) ən çox indeksin normal bölücü G1 var, burada p yalnız dim V-dən asılıdır, belə ki V-nin bir bayrağı var G1 ilə dəyişməz ... ... Riyaziyyat Ensiklopediyası

TOPOLOJİK QRUP bir qrupun iki quruluşunun və topoloji birinin verildiyi G dəstidir. qrup əməliyyatları üçün davamlılıq şərtinə uyğun boşluqlar. Məhz, birbaşa məhsulun G-yə uyğunlaşdırılması davamlı olmalıdır. HT G. G altqrupu T. G.-dir ... ... Riyaziyyat Ensiklopediyası

Giriş 2
1. Qrupların tərifi və nümunələri 4
2. Alt qruplar 8
3. Siklik qruplar. 13
4. Normal bölücülər, amil qrupları 17
5. Bir qrupda bir alt qrup üçün idealdır. Lagrange teoremi və bunun nəticələri. 22
6. Problemləri həll edərkən normal qrup bölənlərindən istifadə 26
Nəticə 29
İstinadlar 30

Giriş

Ali cəbr ibtidai cəbr məktəb kursunun əsas məzmununun geniş, lakin olduqca təbii bir ümumiləşdirilməsidir. Əsasən matris nəzəriyyəsinə və vektor boşluqlarının əlaqəli xətti çevrilmə nəzəriyyəsinə həsr olunmuş böyük bir elm olan xətti cəbr, ayrıca diferensial həndəsədə mühüm rol oynayan formalar nəzəriyyəsini, dəyişməzlər nəzəriyyəsini və tensor cəbrini də əhatə edir. Vektor fəzaları nəzəriyyəsi cəbr xaricində, funksional analizdə (sonsuz ölçülü fəzalarda) daha da inkişaf etdirilmişdir. Həm riyaziyyatda, həm də mexanika, fizika və texniki elmlərdə tətbiq olunan müxtəliflik və əhəmiyyət baxımından xətti cəbr cəbrin çoxsaylı qolları arasında birinci olaraq qalır.
Sahə nəzəriyyəsi tənliklər nəzəriyyəsinin daha da inkişafı üçün təbii bir sahə oldu və onun əsas qolları - cəbr ədədi sahələri nəzəriyyəsi və cəbr funksiyaları sahələri nəzəriyyəsi onu müvafiq olaraq ədədlər nəzəriyyəsi ilə əlaqələndirdi. və kompleks dəyişənin funksiyalar nəzəriyyəsi. Daha yüksək cəbr kursu sahə nəzəriyyəsinə elementar bir giriş daxildir və kursun bəzi bölmələri - bir neçə naməlum yerdəki polinomlar, matrisin normal forması - ixtiyari bir torpaq sahəsi üçün dərhal təqdim olunur.
Bir sahə anlayışından daha geniş bir üzük anlayışıdır. Bir sahə vəziyyətindən fərqli olaraq, burada bölmə artıq tələb olunmur və əlavə olaraq vurma qeyri-komutativ və hətta assosiativ ola bilər. Üzüklərin ən sadə nümunələri bütün tam ədədin toplanmasıdır (mənfi olanlar da daxil olmaqla), bir naməlumda çoxbucaqlar sistemi və həqiqi dəyişənin həqiqi funksiyaları sistemi. Üzük nəzəriyyəsi hiperkompleks sistemlər nəzəriyyəsi və ideal nəzəriyyəsi kimi cəbrin köhnə qollarını özündə birləşdirir, bir sıra riyaziyyat elmləri ilə, xüsusən də funksional analizlə əlaqələndirilir və fizikada bəzi məqamları tapmışdır. Daha yüksək cəbr kursu, mahiyyət etibarilə yalnız bir üzük anlayışının bir tərifini ehtiva edir.
Qrup nəzəriyyəsi daha geniş bir tətbiq sahəsinə malikdir. Bir qrup, bir əsas əməliyyata sahib bir cəbri sistemdir və bu əməliyyat mütləq komutativ olmasa da assosiativ olmalıdır və əsas əməliyyata vurma deyilirsə, tərs bir əməliyyat - bölmə olmalıdır. Bu, məsələn, toplama əməliyyatı ilə əlaqədar olaraq qəbul edilən tam ədədlər toplusu ilə yanaşı, vurma əməliyyatı ilə nəzərə alınan müsbət real ədədlər toplusudur. Qruplar oynadı böyük rol onsuz da Galois nəzəriyyəsində, tənliklərin radikallarda həll edilə bilmə məsələsində, indi sahə nəzəriyyəsində, həndəsənin bir çox sahələrində, topologiyasında, eləcə də xaric riyaziyyatda - kristalloqrafiyada, nəzəri fizikada mühüm bir vasitədir. Ümumiyyətlə, tətbiq sahəsinin genişliyi baxımından qrup nəzəriyyəsi cəbrin bütün qolları arasında xətti cəbrdən sonra növbəti yeri tutur.
Bu işin mövzusu qrupların normal bölücüləridir.
Tapşırıqlar:
1. Qrup və alt qrupun tərifini verin, qrup nümunələrini nəzərdən keçirin.
2. Siklik qrupları nəzərdən keçirin.
3. Normal bölücülər anlayışını nəzərdən keçirin
4. Lagrange teoremini və nəticələrini verin.
5. Problem həllində normal qrup bölücülərin istifadəsini nəzərdən keçirin.

İstifadə olunan mənbələrin siyahısı

1. Kulikov L.Ya. və say nəzəriyyəsi: Dərs vəsaiti. pedaqoji institutlar üçün dərslik. -: daha yüksək. məktəb, 1979. - 559 s., xəstə.
2. Kostrikin A.I. Cəbrə giriş: Universitetlər üçün dərslik. - M.: Fizmatlit, 2004. - 272 s.
3. Faddeev D.K. Yüksək cəbrdə problemlər toplusu. - Moskva: Nauka, 1977. - 288 s.
4. Kurosh A.G. Ali cəbr kursu. - Moskva: Nauka, 1968.
5. Okunev L.Ya. Ali cəbrdə problemlər toplusu - M.: Maarifçilik, 1964.

Ümumi həcm: 30 səhifə

İl: 2013

G 1 = (G 1, ⋅, 1) və g 2 = (G 2, ⋅, 1) qrupları verilsin f: G 1 → G 2 Xəritəçəkmə g 1 qrupunun g qrupuna homomorfizmi deyilir. 2 (qrupların homomorfizmi) hər hansı bir x, y ∈ G 1 üçün f (x ⋅ y) = f (x) ⋅ f (y) bərabərliyi yerinə yetirilirsə, yəni f Xəritəçəkmə altındakı g 1 qrupunun hər hansı iki elementinin məhsulunun şəkli g 2 qrupundakı şəkillərinin məhsuluna bərabərdir.

Bir f Xəritəçəkmə surjective (bijective) olarsa, buna qrupların epimorfizmi (izomorfizmi) deyilir. Bu vəziyyətdə, g 1 qrupunun g 2 qrupuna bir epimorfizmindən (izomorfizmindən) danışılır.

Qeyd 2.5. Adətən eyni tipli cəbrlər üçün edildiyi kimi g 1 və g 2 qruplarının işlərini eyni şəkildə qeyd edirik, baxmayaraq ki, bunlar fərqli qrupların fərqli əməliyyatlarıdır.

Nümunə 2.21. G 1 = (ℤ, +, 0) ədədlərin əlavə qrupu olsun və g 2 = ℤ + k- modul k qatı qatqı qrupu.

Xəritəçəkmə f-ni belə müəyyən edirik: hər hansı bir m rəqəmi üçün f (m) şəkli m-i k-yə bölmənin qalığına bərabərdir. Hər hansı bir tamsayı növü üçün f (m + n) = f (m ⊕ k f (n) bərabərliyinin yerinə yetirildiyi, yəni tam ədədlər üçün cəmi k-yə bölməyin qalıcı olduğu təsdiq edilə bilər. cəminə bərabərdir modul k hər müddətin k ilə bölünməsinin qalıqları.

Buna görə də, bu Xəritəçəkmə g 1 qrupunun g 2 qrupuna daxil olan homomorfizmidir. Bundan əlavə, 0-dan k-1-ə qədər hər hansı bir ədəd k-yə bölünən ədədin qalığı olduğu üçün f Xəritəçəkmə də g 1 qrupunun g 1 qrupuna epimorfizmidir.

Teorem 2.14. G 1, g 2 ixtiyari qruplar olsun. F: g 1 → g 1 homomorfizmdirsə, onda:

1. f Xəritəçəkmə altında g 1 qrupunun vahidinin (neytral element) görüntüsü g 2 qrupunun vahididir, yəni f (1) = 1;
2. g 1 qrupunun istənilən x elementi üçün x -1 elementinin şəkli -1 elementidir, f (x) elementinin tərsidir, yəni. f (x -1) = -1.

◀ Homomorfizmin tərifinə görə, ixtiyari x ∈ g 1 üçün f (x) ⋅ f (1) = f (x ⋅ 1) olur. Bundan əlavə, f (x-1) = f (x), yəni. f (x) ⋅ f (1) = f (x). Buna görə f (1) = (f (x)) -1 ⋅ f (x) = 1, yəni. f (1) = 1

Teoremin ikinci iddiasını sübut edək. Bir homomorfizmin tərifindən və teoremin onsuz da sübut olunmuş ilk ifadəsindən istifadə edərək əldə edirik

f (x -1) ⋅ f (x) = f (x -1 ⋅x) = f (1) = 1, yəni. f (x -1) = -1

Homomorfizm f altında g 1 qrupunun dəstəyinin təsviri f (G 1) çoxluğu, g 2 qrupunun vurulması altında bağlanmışdır. Doğrudan da, g 2, g 2 "(f (g 1) olduqda, f (g 1) = g 2 və f (g 1") = g 2 "olduqda g 1, g 1" ∈ g 1 mövcuddur. Sonra

g 2 g 2 "= f (g 1) f (g 1") = f (g 1 g 1 ") ∈ f (g 1).

Teorem 2.14-dən belə çıxır ki, f (g 1) bu qrupun şəxsiyyətini və hər elementlə birlikdə tərs elementini ehtiva edir. Bu o deməkdir ki, f (g 1) dəsti ilə dəstəklənən g 2 qrupunun alt qrupu müəyyən edilə bilər. Bu qrupa homomorfizm f altında g 1 qrupunun homomorfik görüntüsü deyilir.

Qrup K g qrupunun homomorfizmi varsa, sadəcə qrupun homomorfik görüntüsü adlanır. K ... Beləliklə, qrup ℤ * k hər hansı bir k> 1 üçün tam ədədlərin əlavə qrupunun homomorfik görüntüsüdür (bax. Nümunə 2.21).

Növbəti nümunəyə baxaq.

Nümunə 2.22. Kompleks ədədlərin vurulmasının adi əməliyyatı ilə kompleks ədədlərin vurma qrupunu (C \ (0), ⋅, 1) düşünün. Bu qrupun kompleks ədədlər sahəsinin vurma qrupundan başqa bir şey olmadığını görmək asandır.

Qrupu da nəzərdən keçirək M Matris vurma əməliyyatı ilə ikinci dərəcəli 2-dən qeyri-normal kvadratik matrislər (bax. Nümunə 2.9.f).

Kompleks ədədlərin the çoxluğunun ikinci dərəcəli kvadrat matrislərin çoxluğuna bir f uyğunlaşdırmasını təyin edirik, bunun üçün ixtiyari sıfırdan kənar bir kompleks ədədi təyin edirik.

F-nin bir qrup homomorfizm olduğunu göstərək. Bir tərəfdə,

f [(a + bi) (c + di)] = f [(ac - bd) + i (ad + bc)] =

Digər tərəfdə,

Nəticə olaraq

f [(a + bi) (c + di)] = f (a + bi) f (c + di).

Beləliklə, f bir qrup homomorfizmdir və f üçün kompleks ədədlərin çarpan qrupunun homomorfik təsviri bir alt qrupdur K matris qrupları M 2, formanın matrislərindən ibarətdir Burada nəzərə aldıq ki, formanın hər hansı bir matrisası f Xəritəçəkmə altında bəzi kompleks ədədin (yəni a + bi) təsviridir. Qrup K - qrupun öz alt qrupu M 2 . #

Dəlil olmadan qrup homomorfizmlərinin bir vacib xassəsini formalaşdıraq.

Teorem 2.15.Əgər f, g qrupunun K qrupuna, g qrupunun L qrupuna daxil olan homomorfizmidirsə, f॰g Xəritəçəkmələrin tərkibi g qrupunun L qrupuna daxil olan homomorfizmidir. #

Qrup izomorfizmlərinin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.

Teorem 2.16.Əgər f: g 1 → g 2 g 1 qrupunun g 2 qrupuna izomorfizmidirsə, f xəritələməsinə tərs f f xəritəsi g 2 qrupunun g 1 qrupuna izomorfizmi.

◀ x və y g 2 qrupunun ixtiyari elementləri olsun, həmçinin x = f (u) və y = f (v) olsun, burada u və v g 1 qrupunun elementləridir.

f -1 (xy) = f -1 (f (u) f (v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),

bunlar. Xəritəçəkmə f -1, birinci qrupa aid ikinci qrupun homomorfizmidir. Fəqət bir bijeksiyaya tərs xəritəçəkmə bir bijection olduğundan f -1, g 2 qrupunun g 1 qrupuna izomorfizmidir.

G və K qruplarına deyilir izomorfik onlardan birinin digərinə izomorfizmi varsa. Bu vəziyyətdə g ≅ K işarəsi istifadə olunur.

İzomorfik qruplar cəbri xüsusiyyətləri baxımından tamamilə eynidir, baxmayaraq ki, elementləri fərqli bir təbiətə sahib ola bilər. Bununla əlaqədar Nümunə 2.22-yə qayıdaq. Mürəkkəb ədədlər çoxluğunun α-nın müəyyən edilmiş xüsusi formanın kvadrat matrislər toplusuna uyğunlaşdırılmasının bir birləşmə olduğunu doğrulamaq asandır. Nəticə olaraq, matrisin vurulması əməliyyatı ilə göstərilən formanın matris qrupu və vuruş qrupu izo-izomorfdur, baxmayaraq ki, bu qrupların elementlərinin ilk baxışda heç bir ortaq nöqtəsi yoxdur.

Tərif 2.8. Homomorfizmin nüvəsi f qrupu g qrupa TO homomorfizm altında g qrupunun şəxsiyyətinin Ker finin tərs görüntüsüdür f: Kerf = f -1 (1) ⊆ G.

Nümunə 2.23... Nümunə 2.21-də nəzərdən keçirilmiş homomorfizmin nüvəsi k-ya bölünən bütün tamların çoxluğudur.

Teorem 2.17... Homomorfizmin kerf f: g → K g alt qrupudur.

◀ Ker f çoxluğunun Q qrupunun vurulması altında qapalı olduğundan, bu qrupun şəxsiyyətini və hər elementlə birlikdə ona tərs elementi ehtiva etməsindən əmin olmaq lazımdır.

Əgər a, b ∈ Ker f, yəni f (a) = f (b) = 1, sonra f (ab) = f (a) f (b) = 1 və ab ∈ Kerf. F (1) = 1 olduğundan 1 ∈ Kerf olduğu aydındır (bax Teorem 2.14). A ∈ Kerf olarsa, f (a -1) = -1 = 1 -1 = 1, yəni. və a -1 ∈ Kerf.

Nümunə 2.21-də verilmiş homomorfizmin nüvəsi, k-dən çox olan bütün ədədlərdən ibarət tam ədədlər qrupunun alt qrupudur.

G qrupunun H altqrupu deyilir normal alt qrup (normal bölücü) hər hansı bir any G üçün aH = Ha olduqda g qrupunun.

Komutativ qrupda, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, aH = Ha. Buna görə bu vəziyyətdə hər hansı bir alt qrup normal bölücüdür.

H = (H, ⋅, 1) g = (G, ⋅, 1) qrupunun alt qrupu olsun. Sabit elementlər a, b ∈ G üçün aHb ilə ahb formasının bütün məhsullarının çoxluğunu qeyd edirik, burada h ∈ H. Qrup əməliyyatı assosiativ olduğundan bu qeyd düzgündür.

Teorem 2.18. H = (H, ⋅, 1) altqrupu hər hansı bir ∈ G üçün aHa -1 ⊆ H olduğu təqdirdə g = (G, ⋅, 1) qrupunun normal bölücüdür.

◀ Əgər H normal bölücüdürsə, onda hər hansı bir ∈ G aH = Ha üçün, yəni hər hansı bir ∈ H üçün h 1 ∈ H var ki, ah = h 1 a. Bir element x ∈ aHa -1, yəni. x = aha -1 bir az h ∈ H olduğundan ah = h 1 a olduğu üçün x = h 1 aa -1 = h 1 ∈ H və buna görə aHa -1 ⊆ H.

Əksinə, aHa -1 ⊆ H olarsa, hər hansı bir x = aha -1, burada h ∈ H də H çoxluğuna aiddir, yəni. aha -1 = h 1 bəziləri üçün h 1 ∈ H. Beləliklə, son bərabərliyi sağdakı a ilə vuraraq ah = h 1 a əldə edirik, yəni aH sol kosetdən ah elementi sağ koset Ha-ya aiddir. Beləliklə, aH ⊆ Na.

İndi ixtiyari a ⊆ G üçün a-ya tərs bir a -1 elementini alırıq və bunun üçün a -1 On Na H daxil edilməsini yazırıq ((a -1) -1 = a olduğunu xatırlayırıq). Yuxarıda göstərildiyi kimi mübahisə edərək bəzi h, h 1 ∈ H bərabərliyinin a -1 h = h 1 a -1 olduğunu, yəni. ha = ah 1 və Ha ⊆ aH. Deməli, aH = Ha və H normal bir bölücüdür.

Normal bölücü anlayışı ilə homomorfizm anlayışı arasında bir Xəritəçəkmə və ekvivalentlik sinfi anlayışları arasında 1-ci Fəsildən bizə məlum olan əlaqəni davam etdirən və yeni bir səviyyədə dərinləşdirən bir əlaqə olduğu ortaya çıxır.

Teorem 2.19. G qrupunun homomorfizminin nüvəsi qrupa daxil olur K g-nin normal bölücüdür.

Hər hansı bir ∈ Ker f və hər hansı bir ∈ G üçün bizdə var

f (aya -1) = f (a) f (y) f (a -1) = f (a) ⋅0⋅f (a -1) = f (a) f (a -1) = 1

Bu o deməkdir ki, hər hansı bir ∈ G üçün a (Ker f) a -1 ⊆ Ker f əlaqəsi mövcuddur və 2.18 Teoreminə görə Kerf normal bir bölücüdür.

H = (H, ⋅, 1) g = (G, ⋅, 1) qrupunun normal bölücüsü olsun. Bütün sol kosetlərin çoxluğunu nəzərdən keçirək (aH: a ∈ G). Bu, yuxarıda təyin olunan ekvivalentlik əlaqəsi ~ H-yə görə G çoxluğunun hissə dəstindən başqa bir şey olmayacaqdır (bax Teorem 2.11).

Bütün sol kosetlərin çoxluğunda vurma əməliyyatını aşağıdakı kimi təqdim edirik: aH və bH ​​siniflərinin aH ⋅ bH məhsulu abH sinifidir.

Bu tərif düzgündür, çünki aH ⋅ bH dəsti, yəni. müxtəlif h, h 1 ∈ H üçün ahbh 1 formasının bütün məhsullarının çoxluğu, çünki hər b ∈ G üçün Hb = bH, sol koset abH ilə üst-üstə düşür. Həqiqətən, hb = bH "bəzi h" ∈ H olduğundan, ahbh 1 = abh "h 1 ∈ аbH.

İndi bir az x ∈ аbH düşünün, yəni. x ab Н 1 üçün x = abh. Bh = h "b bəzi h" ∈ H olduğundan x = ax "b = ah" b1 ∈ aHbH. Buna görə aH ⋅ bН = abH.

Hər bir ∈ G üçün aH ⋅ H = H ⋅ aH = aH və aH a -1 H = a 1 H ⋅ aH = H olduğumuzu göstərmək asandır. Bu, G / ~ bölmə dəsti ilə dəstəklənən bir qrupu təyin edir. Ek setlik münasibətinə münasibətdə G çoxluğunun H, sol kosetlərin çarpılması əməliyyatı ilə ~ H, üstəlik bu əməliyyata görə neytral element H alt qrupunun dəstəyi və aH sol kosetin tərsidir. sol koset a -1 H Bu qrup, normal bölücü H ilə g qrupunun hissə qrupu adlanır və g / H ilə işarələnir. Bir qaydaya uyğun olaraq təqdim olunan g / H nisbət qrupuna g qrupunun təbii bir homomorfizmini göstərmək olar: (Ax ∈ G) (f (x) = xH). XH ⋅ yH = xyH olduğundan, hər hansı bir x üçün y ∈ G f (xy) = xyH = xH⋅ yH = f (x) f (y) və f həqiqətən homomorfizmdir. Ona deyilir kanonik qrup homomorfizmi g amil qrupuna g / H.

Nümunə 2.24. Amma. Real ədədlərin group = = (ℝ, +, 0) əlavə qrupunu nəzərdən keçirin. Bu qrup dəyişkəndir. Xatırladaq ki, komutativ bir qrupda hər hansı bir alt qrup normal bölücüdür. Buna görə də onun üçün normal bölücü tam ədədlərin alt qrupudur ℤ = (ℤ, +, 0) (tam ədədlərin əlavə qrupu). (Bu qruplar üçün daşıyıcıları ilə eyni qeydləri qəbul etdik: sırasıyla ℝ və ℤ.)

Bu vəziyyətdə alt qrup tərəfindən, sol kosetlərin bərabərliyi ilə təyin olunan ekvivalentlik münasibətinin ~ mənasını aydınlaşdıraq.

Sol kosetlərin bərabərliyi a + ℤ = b + ℤ deməkdir ki, hər hansı bir m ədədi üçün a + m = b + n, yəni a-b = n-m ∈ ℤ. Əksinə, a - b fərqi bir tamdırsa, yəni. a -b = n ∈ Z, sonra a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Beləliklə, a ~ ℤ b və yalnız a - b ∈ ℤ olduqda və ya başqa sözlə, a və b ~ ℤ həqiqi ədədləri, yalnız kəsr hissələri bərabər olduqda bərabərdir.

* Bu vəziyyətdə soldan sağa ayrılmadan sadəcə kosetlər haqqında danışa bilərik, çünki normal bölücü üçün bu siniflər bərabərdir, xüsusən də indi komutativ qrupda "işləyirik".

Əlavə koset qrupu, yəni. normal bölücü ℤ ilə əlaqəli qrup qrupu / ℤ qrup qrupu aşağıdakı kimi qurulur: a + ℤ və b + classes siniflərinin cəmi (a + b) + ℤ sinifinə bərabərdir. A + ℤ = [a] qeydini təqdim edərək [a] + [b] = [a + b] əldə edirik. Üstəlik, = ℤ (yəni amil qrupunun vahidi sıfır koseti - bütün ədədlərin çoxluğudur) və - [a] = [-a] = (-a) + ℤ. X sayının kosetinin kəsr hissəsi ilə unikal şəkildə təyin olunduğunu unutmayın (bax. Nümunə 1.14.6), yəni. [x] =. Bu vəziyyətdə kanonik homomorfizm aşağıdakı kimi müəyyən edilir: x ↣ [x].

b.İndi düşünün həqiqi ədədlərin əlavə qrupu mod 1 yəni qrup S 1 = (: a ∈ ℝ) yarım intervaldakı kosetlər) =. [X] = bir bijection olduğundan və üstəlik

φ ([x] + [y]) = φ ([x + y]) = = +> = ⊕ 1 = φ ([x]) ⊕ 1 φ ([y]).

Bu o deməkdir ki, φ S 1 üzərində izomorfizmdir ℝ / ℤ.

Qrup S 1 amil qrupunun "vizual görüntüsü" kimi qəbul edilə bilər ℝ / ℤ. Amil qrupunun kifayət qədər mücərrəd ideyası daşıyıcısı olan bir qrup şəklində kristallaşır)