Пуасонівський потік даних класичної та. Визначення Пуассонівського потоку. Властивості. А також інші роботи, які можуть Вас зацікавити

Цей термін використовують, як правило, у теорії масового обслуговування.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія.

І. М. Виноградов.

1977-1985.Дивитись що таке "ПУАССОНІВСЬКИЙ ПОТІК" в інших словниках: Пуасонівський потік

- див. Потік вимог (заявок) … Економіко-математичний словник

Те саме, що Пуасонівський процес. Цей термін використовують, як правило, для масового обслуговування теорії (…).Велика Радянська Енциклопедія

потік вимог

- Потік заявок Вхідний потік Теоретично масового обслуговування послідовність вимог або заявок, що надходять на пункт обслуговування (канал, станцію, прилад і т.д.). Вони виникають випадково і вимагають певного, зазвичай заздалегідь не…

Потік подій послідовність подій, що наступають у випадкові моменти часу. Властивості Властивість стаціонарності: ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу залежить тільки від числа k та від тривалості t проміжку.Теоретично випадкових процесів визначає кількість наступних випадкових подій, що відбуваються з постійною інтенсивністю. 1 Визначення 1.1 Простий Пуасонівський процес … Вікіпедія пуасонівський вхідний потік- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології

загалом EN exponential arrivals … Довідник технічного перекладача

Випадковий процес X(t).з незалежними приростами X(t2) X(t1), t2>tl мають Пуассона розподіл. В однорідному П. п. для будь-яких t2> t1 (1) Коефіцієнт l>0 зв. інтенсивністю пуассонівського процесу X(t). Траєкторії П. п. X(t).

Математична енциклопедія Довідник технічного перекладача

Випадковий процес, що описує моменти наступу 0 Велика радянська енциклопедія

Випадкова послідовність моментів часу, в які відбуваються події деякого потоку подій (напр., потоку викликів, що приходять на телефонну станцію), що задовольняє умову незалежності та однакової показової розподіленості. потоком подійтеоретично ймовірностей розуміється послідовність подій, які відбуваються одне одним у якісь моменти часу. Прикладами можуть бути: потік викликів на телефонній станції; потік рекомендованих листів, що надходять до поштового відділення, тощо. Події, що утворюють потік, у випадку можуть бути різними. Якщо події відрізняються лише моментами появи, то потік подій називається однорідним.

Потік подій називається регулярним, якщо події йдуть одне за одним через певні проміжки часу. Такий потік порівняно рідко зустрічається в реальних системах, але цікавий як граничний випадок.

Потік подій називається стаціонарнимякщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на проміжок часу залежить тільки від тривалості проміжку і не залежить від того, де саме на осі часу розташований цей проміжок.

Насправді часто зустрічаються потоки заявок, ймовірнісні характеристики якого залежить від часу. Наприклад, потік викликів на міській телефонній станції на ділянці часу від 12 до 13 години може вважатися стаціонарним. Той же протягом

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких ділянок часу, що не перетинаються, кількість подій, що володіють на одну з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші.

Наприклад, потік пасажирів, що входять до станції метро, ​​можна вважати потоком без післядії. Потік пасажирів, що залишають станцію метро, ​​вже не може вважатися потоком без післядії, оскільки моменти виходу пасажирів, які прибули одним і тим самим поїздом, залежні між собою.

Вихідний потік (або потік обслужених заявок), що залишає систему масового обслуговування, зазвичай має післядію, навіть якщо вхідний потікйого немає. Розглянемо, наприклад, одноканальну систему масового обслуговування, на яку

час обслуговування будь-якої заявки має одну й ту саму величину t про. Тоді в потоці обслужених заявок мінімальний інтервал часу між заявками, що залишають

систему, дорівнюватиме t про. Неважко переконатися, що такий мінімальний інтервал неминуче призводить до післядії. Справді, нехай відомо, що у якийсь момент t 1 систему залишила обслужена заявка. Тоді можна стверджувати з достовірністю, що на будь-якому інтервалі часу, що лежить у межах ( t 1 , t 1 + t про) ,

жодна заявка не залишить систему. Отже, матиме місце залежність між числами подій на ділянках, що не перетинаються.

Потік подій називається ординарнимякщо ймовірність появи двох і більше подій за малий проміжок часу має більш високий порядокдещо порівняно з ймовірністю появи за цей проміжок однієї події. Для простого потоку подій можливість одночасної появи більш ніж однієї події дорівнює нулю.

Умова ординарності означає, що заявки приходять поодинці, а чи не парами, трійками тощо.

Пуассонівським(найпростішим) потоком називають потік, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності. Назва “пуасонівський” пов'язана з тим, що для цього потоку кількість подій, які потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, буде розподілено згідно із законом Пуассона.

Пуасонівський потік відіграє серед потоків подій особливу роль, певною мірою аналогічну ролі нормального закону серед інших законів розподілу. Можна довести, що аналогічно тому як при підсумовуванні великої кількості незалежних випадкових величин, підпорядкованих практично будь-яким законам розподілу, виходить величина, приблизно розподілена за нормальним законом, при підсумовуванні (взаємному накладенні) великої кількості ординарних, стаціонарних потоків з практично будь-яким післядіям виходить потік, як завгодно близький до пуассонівського. Умови, які повинні для цього дотримуватися, аналогічні умовам центральної теореми, а саме – потоки, що складаються, повинні надавати на суму приблизно рівномірний вплив.

За стандарт потоку в моделюванні прийнято купувати пуасонівський потік.

1977-1985.- це простий потік без післядії.

Як раніше було зазначено, ймовірність того, що за інтервал часу ( t 0 , t 0 + τ ) відбудеться mподій, визначається із закону Пуассона:

де a- Параметр Пуассона.

Якщо λ (t) = const( t), то це стаціонарний потік Пуассона(Найпростіший). В цьому випадку a = λ · t. Якщо λ = var ( t), то це нестаціонарний потік Пуассона.

Для найпростішого потоку ймовірність появи mподій за час τ дорівнює:

Ймовірність непояви (тобто жодного, m= 0) події за час τ дорівнює:

Мал. 28.2ілюструє залежність P 0 від часу. Очевидно, що чим більше часуспостереження, тим ймовірність не появи жодної події менше. Крім того, чим більше значення λ , Тим крутіше йде графік, тобто швидше зменшується ймовірність. Це відповідає тому, що й інтенсивність появи подій велика, то ймовірність непояви події швидко зменшується з часом спостереження.

Імовірність появи хоча б однієї події ( PХБ1С) обчислюється так:

так як PХБ1С+ P 0 = 1 (або з'явиться хоча б одна подія, або не з'явиться жодного, іншого не дано).

З графіка на Мал. 28.3видно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне з часом до одиниці, тобто за відповідного тривалого спостереження події така обов'язково рано чи пізно відбудеться. Чим довше ми спостерігаємо за подією (чим більше t), тим більше ймовірність того, що подія відбудеться - графік функції монотонно зростає.

Чим більша інтенсивність появи події (чим більше λ ), тим швидше настає ця подія, і тим швидше функція прагне одиниці. На графіку параметр λ представлений крутістю лінії (нахил дотичної).

Якщо збільшувати λ , то при спостереженні за подією протягом одного й того ж часу τ , Імовірність настання події зростає (див. Мал. 28.4). Очевидно, що графік виходить із 0, оскільки якщо час спостереження нескінченно мало, то ймовірність того, що подія станеться за цей час, незначна. І навпаки, якщо час спостереження нескінченно велике, то подія обов'язково відбудеться хоча б один раз, отже графік прагне до значення ймовірності рівної 1.

Вивчаючи закон, можна визначити, що: m x = 1/λ , σ = 1/λ , тобто для найпростішого потоку m x = σ . Рівність математичного очікування середньоквадратичного відхилення означає, що цей потік - потік без післядії. Дисперсія (точніше середньоквадратичне відхилення) такого потоку велика. Фізично це означає, що час появи події (відстань між подіями) погано передбачувано випадково перебуває в інтервалі m x – σ < j < m x + σ . Хоча ясно, що в середньому воно приблизно дорівнює: j = m x = Tн/ N. Подія може з'явитись у будь-який момент часу, але в межах розкиду цього моменту jщодо m xна [– σ ; +σ ] (величину післядії). на Мал. 28.5показані можливі положенняподії 2 щодо осі часу при заданому σ . У цьому випадку кажуть, що перша подія не впливає на другу, другу на третю тощо, тобто післядія відсутня.

За змістом Pодно r(див. лекцію 23. Моделювання випадкової події. Моделювання повної групи несумісних подій), тому, висловлюючи τ із формули (*) , остаточно визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо:

τ = -1/ λ · Ln ( r) ,

де r- рівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, яке беруть із ГСЧ, τ - інтервал між випадковими подіями (випадкова величина j).

Приклад 1. Розглянемо потік виробів, що приходять на технологічну операцію. Вироби приходять випадково - в середньому вісім штук за добу (інтенсивність потоку λ = 8/24 [од/год]). Необхідно промоделювати цей процес протягом Tн = 100 годин. m = 1/λ = 24/8 = 3, тобто у середньому одна деталь протягом трьох годин. Зауважимо, що σ = 3. На Мал. 28.6представлений алгоритм, що генерує потік випадкових подій.

на Мал. 28.7показаний результат роботи алгоритму – моменти часу, коли деталі приходили на операцію. Як видно, всього за період Tн = 100 виробничий вузол обробив N= 33 вироби. Якщо запустити алгоритм знову, то Nможе бути рівним, наприклад, 34, 35 або 32. Але в середньому, за Kпрогонів алгоритму Nбуде рівно 33.33… Якщо порахувати відстань між подіями tз iі моментами часу, що визначаються як 3 · i, то в середньому величина дорівнюватиме σ = 3.

Об'єкти, що відновлюються, після ремонту продовжують експлуатуватися за прямим призначенням. Надійність об'єктів, що відновлюються, прийнято оцінювати за характеристиками потоку відмов. У загальному випадку потокомПодій називається послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу. У теорії надійності об'єктів, що відновлюються, в основному розглядаються найпростіші потоки подій, що характеризуються ординарністю, стаціонарністюі відсутністю післядії(Такі потоки подій найчастіше зустрічаються на практиці).

Потік подій називається ординарним,якщо ймовірність появи двох і більше відмов у одиничному інтервалі часу дуже мала в порівнянні з ймовірністю появи однієї відмови. Отже, відмови у системі виникають по одному.

Потік подій називається стаціонарним,якщо ймовірність попадання тієї чи іншої кількості подій на інтервал часу т залежить тільки від довжини інтервалу і не залежить від того, де саме на осі розташований цей інтервал. Стаціонарність потоку подій означає, що щільність потоку стала. Очевидно, що при спостереженні потік може мати згущення та розрідження. Однак для стаціонарного потоку ці згущення і розрідження не носять закономірного характеру, а середня кількість подій, що потрапляють на одиничний інтервал часу, залишається постійною для всього періоду, що розглядається.

Відсутність післядіїу найпростішому потоці подій означає, що ймовірність появи відмов у одиничному інтервалі часу залежить від виникнення відмов переважають у всіх попередніх інтервалах часу, т. е. відмови виникають незалежно друг від друга. В електронно-обчислювальних засобах потік відмов дорівнює суміпотоків відмов окремих пристроїв. Якщо кожен окремо потік надає на сумарний потік досить рівномірний і невеликий вплив, то сумарний потік буде найпростішим.

Нехай найпростіший потік відмов має такі властивості.

1. Час між відмовими розподілено за експоненційним законом з деяким параметром А (формули (4.16)-(4.21)):

Отже, і Т 0 -напрацювання до першої відмови розподілено за експоненційним законом з тим самим параметром X(середнє напрацювання до першої відмови є математичне очікування Т:

За таких умов інтенсивність відмов X(t)виявляється постійною величиною:

2. Нехай r(t) -кількість відмов за час t (r(t)є випадковою величиною). Імовірність того, що за час tстанеться mвідмов при інтенсивності відмов X,визначається законом Пуассона (див. (4.22)):

3. Середня кількість відмов за час tодно:

4. Імовірність того, що за час tне відбудеться жодної відмови, дорівнює: P(t) = е~ і.

Описаний найпростіший потік подій також називають стаціонарним пуассонівським потоком.Як було зазначено вище, такий потік уражає складних високонадійних об'єктів.

Процес функціонування об'єкта, що відновлюється, можна описати як послідовність чергуються інтервалів працездатності і простою, пов'язаного з відновленням. Передбачається, що відмова об'єкта негайно фіксується і з цього моменту починається відновлювальна процедура. Інтервали працездатності (ми припускаємо 100% відновлення об'єкта) є незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами, при цьому вони не залежать від інтервалів відновлення, які також є незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами (скоріше за все, з іншим розподілом). Кожна з цих послідовностей інтервалів формує найпростіший потік подій.

Нагадаємо, що у разі відновлюваних об'єктів основною характеристикою є параметр потоку відмов.Експлуатація таких об'єктів може бути описана наступним чином: у початковий момент часу об'єкт починає роботу і працює до відмови, після відмови відбувається відновлення і об'єкт знову працює до відмови і т. д. Параметр потоку відмов визначається через провідну функціюQ(t)даного потоку, що є математичним очікуванням кількості відмов за час 1:

де r(t) -кількість відмов за час t.

Параметр потоку відмов со(0 характеризує середнє відмов, очікуваних у малому інтервалі часу, і визначається за формулою (2.9):

Провідна функція може бути виражена через параметр потоку відмов:

Для стаціонарних пуассонівських потоків,як було сказано вище, інтенсивність відмов - величина постійна і дорівнює X;при цьому вона збігається із параметром потоку відмов. Дійсно, за властивістю 3 стаціонарного пуассонівського потоку середня кількість відмов за час г дорівнює: Q.(t) = M = Xt,отже,

Середнє напрацювання на відмову.Як уже говорилося, цей показник є відношенням напрацювання до математичного очікування кількості відмов протягом цього напрацювання. Оскільки при стаціонарному потоці відмов M , (a£x£b)