Вхідний потік. Вхідний потік інформації Елементи теорії масового обслуговування

24. Вхідний потік вимог

24.1 Структура СМО

Вивчення СМО починається з аналізу вхідного потоку вимог. Потік вимог, що входитьявляє собою сукупність вимог, які надходять до системи та потребують обслуговування. Вхідний потік вимог вивчається з метою встановлення закономірностей цього потоку та подальшого покращення якості обслуговування.

Найчастіше вхідний потік некерований і від низки випадкових чинників. Кількість вимог, які у одиницю часу, випадкова величина. Випадковою величиною є також інтервал часу між сусідніми вимогами. Однак середня кількість вимог, що надійшли в одиницю часу, і середній інтервал часу між сусідніми вимогами передбачаються заданими.

Середня кількість вимог, що надходять до системи обслуговування за одиницю часу, називається інтенсивністю надходження вимогі визначається наступним співвідношенням:

де Т - середнє значення інтервалу між надходженням чергових вимог.

Багато реальних процесів потік вимог досить добре описується законом розподілу Пуассона. Такий потік називається найпростішим.

Найпростіший потік має такі важливі властивості:

Властивістю стаціонарності, яке виражає незмінність імовірнісного режиму потоку за часом.

Це означає, що кількість вимог, які у систему у рівні проміжки часу, загалом має бути постійним.Наприклад, кількість вагонів, що надходять під навантаження в середньому на добу, має бути однаковим для різних періодів часу, наприклад, на початку і в кінці декади.

Відсутності післядії,яке виражає практичну неможливість одночасного надходження двох або більше вимог (імовірність такої події незмірно мала щодо розгляданого проміжку часу, коли останній спрямовують до нуля).

Оскільки мета функціонування будь-якої обслуговуючої системи полягає у задоволенні заявок (вимог) на обслуговування, потік заявок (вимог) є одним із основних та найважливіших понять теорії масового обслуговування. Потрібно навчитися кількісно описувати потік вимог, що входить, але для цього слід з'ясувати його характер і структуру.

Практично будь-який потік вимог, що у систему обслуговування, є випадковим процесом. Справді, якщо ми приймемо t=0 за початковий момент, то у багатьох потоках (крім того випадку, коли вимоги надходять строго за розкладом) або не можна, або досить важко точно передбачити момент надходження чергової вимоги, а також моменти надходження наступних вимог. Наприклад, не можна точно вказати моменти приходу клієнтів в ательє, пацієнтів у лікарню, надходження викликів на АТС, обладнання ремонтну майстерню тощо.

Отже, моменти надходження заявок, і інтервали між ними, є, взагалі кажучи, незалежні випадкові величини. Тоді процес надходження вимог до системи масового обслуговування слід розглядати як імовірнісний або випадковий процес. Позначимо такий процес через Х(t). Ця функція визначає кількість вимог, що надійшли до системи за проміжок часу . Для кожного фіксованого t функція Х(t) є випадкова величина. Дійсно, якщо вибрати проміжки часу навіть однакової тривалості, то в цьому випадку не можна бути впевненим у тому, що в кожен із цих проміжків надійде одна й та сама кількість вимог.

За проміжок часу може не надійти жодної заявки, а може надійти 1, 2,... заявок. Але якої б тривалості проміжки часу ми не обирали, кількість заявок буде цілою.

Потік вимог можна подати у вигляді графіка однієї з реалізацій випадкової величини функції Х(t), набувають лише цілі невід'ємні значення. При цьому графік (рис. 24.2) представляє ступінчасту лінію зі стрибками, рівними або одиниці, або кільком одиницям залежно від того, чи надходять вимоги по одному або групам. Таким чином, випадковий процес Х(t), має такі особливості.

1. При кожному фіксованому t функція Х(t), приймає цілі невід'ємні значення 0, 1, 2,...,R,... і зі зростанням немає.

2. Число вимог, що надійшли за проміжок часу залежить від довжини цього проміжку, тобто від значення t.

3. Реалізації процесу є ступінчасті лінії, чимось несхожі одна на одну. З теорії випадкових процесів відомо, що процес буде повністю визначений з імовірнісного погляду, якщо будуть відомі всі його багатовимірні закони розподілу:

Проте відшукання такої функції у випадку є дуже важким, інколи ж нерозв'язним завданням. Тому на практиці намагаються використовувати процеси, які мають властивості, що дозволяють знайти простіші способи їх опису. До таких властивостей відносяться:

Стаціонарність (краще однорідність у часі);

Відсутність післядії (марковість), іноді говорять про відсутність пам'яті;

Ординарність.

Перелічені властивості були розглянуті вище щодо стаціонарних і марківських процесів, тому тут лише нагадаємо суть цих властивостей у термінах теорії масового обслуговування.

Потік вимог називається стаціонарним чи однорідним у часі, якщо ймовірність надходження певної кількості вимог протягом певного проміжку часу залежить від довжини проміжку, а чи не від його тимчасового становища (іншими словами, залежить від початку отсчета). Таким чином, для стаціонарного потоку ймовірність того, що за проміжок надійде рівно R вимог, що дорівнює ймовірності надходження R вимог за проміжок [а, а +t] , де а>0, тобто.

Це означає, що ймовірні характеристики потоку (параметри закону розподілу) не повинні змінюватися в часі.

Властивістю стаціонарності мають багато реальних потоків вимог, якщо розглядати їх протягом нетривалих періодів. До таких потоків можна віднести: потік викликів на АТС у певні проміжки часу, потік покупців у магазин, потік радіоапаратури, що потребує ремонту, інтенсивність руху пасажирів тощо. Однак деякі з перерахованих потоків змінюються протягом дня (ймовірність викликів у нічний час) менше ніж вдень, годинник «пік» у роботі міського транспорту).

У деяких потоках кількість вимог, що надійшли в систему після довільного моменту часу, не залежить від числа вимог, що раніше надійшли, і моментів їх надходження, тобто інтервали між надходженнями вимог вважаються незалежними величинами і між ними немає зв'язку. Майбутній стан системи залежить від минулого її стану. Потік, що має таку властивість, називають потоком без післядії або марківським. Властивість відсутності післядії (відсутності пам'яті) властиво багатьом реальним потокам. Наприклад, потік викликів на АТС є потоком без післядії, оскільки, як правило, черговий виклик надходить незалежно від того, коли і скільки викликів було до цього моменту.

У ряді випадків характер потоку вимог такий, що одночасне поява двох чи більшого числа вимог неможливо чи майже неможливо. Потік, що має таку властивість, називається ординарним.

Якщо Р R >2 (h) -імовірність появи за проміжок hбільше однієї вимоги, то для ординарного потоку має бути:

,

тобто ординарність потоку вимагає, щоб ймовірність появ більше однієї вимоги за малий проміжок часу hбула б нескінченно малою величиною більше високого порядкучим h. В одних реальних потоках ця властивість є очевидною, а в інших ми приймаємо її з досить добрим наближенням до дійсності. Класичними прикладами такого потоку є потік викликів на АТС та потік клієнтів в ательє.

Потік вимог, що має три перелічені властивості, називається найпростішим. Можна показати, що будь-який найпростіший потік описується процесом Пуассона. З цією метою нагадаємо визначення процесу Пуассона, прийняте теоретично випадкових функцій.

Випадковий процес X(t) (0≤ t<∞) цілими значеннями називається процесом Пуассона, якщо він є процесом з незалежними прирощеннями або якщо будь-яке прирощення процесу за проміжок часу h розподілено за законом Пуассона з параметром λ h, де λ>0 тобто.

Зокрема, якщо t=0, X(0)=0, то (3) листується так:

(4)

Тут V r (h)означає ймовірність того, що цікава для нас подія відбудеться рівно Rраз за проміжок часу h(з погляду теорії масового обслуговування V r (h)визначає ймовірність того, що за проміжок часу hу систему обслуговування надійде рівно Rвимог).

Сенс параметра Xлегко з'ясувати, якщо знайти математичне очікування пуассонівського процесу: М [Х(t)]=М.При t = 1отримуємо М [Х (1)] = 1.Отже є середня кількість заявок за одиницю часу. Тому величину λ часто називають інтенсивністю чи щільністю потоку.

З визначення процесу Пуассона негайно випливають три властивості, ідентичні зазначеним вище:

1) Незалежність прирощень. У незалежності прирощень для процесу Пуассона полягає відсутність післядії-марковість процесу.

2) Однорідність у часі. Це означає, що ймовірність V r (h) не залежать від початкового моменту t аналізованого проміжку а залежать тільки від довжини проміжку h:

3)Ординарність. Ординарність процесу Пуассона означає практичну неможливість надходження групи вимог в той самий момент.

Отже, одночасне надходження двох і більше вимог за малий проміжок часу малоймовірне, тому

що свідчить про ординарність процесу Пуассона.

Таким чином, ми встановили, що потік, який описує процес Пуассона, є найпростішим. Однак справедливе й протилежне припущення, що найпростіший потік описується процесом Пуассона. Внаслідок цього найпростіший потік часто називають так само пуассонівським потоком. Пуасонівський процес теорії масового обслуговування займає особливе місце, аналогічне тому, яке в теорії ймовірностей серед інших законів розподілу займає нормальний закон. І справа не в тому, що він описується математично найпростіше, а в тому, що він найбільш поширений. Пуасонівський потік є граничним (асимптотичним потоком при об'єднанні великої кількості інших потоків).

L() - вхідний потік об'єктів, що підлягають виявленню - інтенсивність зусиль пошуку  

Для опису іншої найважливішої складової частини будь - вхідного потоку заявок, зазвичай задають ймовірнісний закон, якому задовольняють тривалості інтервалів між двома послідовно надходять заявками. Ці тривалості зазвичай є статистично незалежними та їх розподіл не змінюється протягом деякого досить тривалого проміжку часу. Іноді зустрічаються системи, де заявки можуть надходити групами (наприклад, відвідувачі в кафе). Зазвичай передбачається, що джерело, з якого надходять заявки, практично  

розподілом Пуассона , тому описаний нами вхідний потік заявок (у випадку - автомобілів) називають пуассонівським).  

Тут аа, с - вектори A, G, С - матриці коефіцієнтів у х - вектори вихідних та вхідних потоків об'єкта і вектор змінних, що забезпечують діапазонну залежність виходів від входів.  

Необхідно встановити значення наукових знань у технологічному розвитку. Сприймати технологію як "застосування наукового знання" означає сприймати останнє як феномен, що відбувається поза рамками функціонування технології як такої. Тут увага концентрується на "вхідних потоках" знань (від науки), важливих для виробничих процесів. Таке уявлення про "одержуване знання" вступає в протиріччя з численними доказами того, що "технологічні вдосконалення зазвичай відбуваються рапсом їхнього наукового осмислення".  

Розглянемо умови безперебійного функціонування постачальників. Вони виражаються як обмеження на випадковий вхідний потік Qkl  

Модель а, призначена для представлення в ТП структури агрегату (вузла) та імітації його роботи зміною станів життєвого циклу як функції команд та подій, що надходять на нього. При цьому стани життєвого циклу представляють операції, що виконуються вузлом над вхідним потоком і станом вузла (зайнятий – вільний, справний – несправний). Модель вузла включає функції (завдання) управління перетворенням потоку, що проходить через вузол - функції регуляторів, захистів, блокувань.  

На схемі дано зображення трьох основних вхідних потоків (вода, їжа та паливо) та трьох вихідних потоків (стічні води, тверді відходи та забруднення повітря), які є спільними для всіх міст. У цій моделі з'являються величини, виміряні в натуральних одиницях, саме відходи виробництва по кожному виду забруднювачів. Ця обставина істотно змінює звичні властивості моделі міжгалузевого балансу , де всі величини виражені у вартісної формі.  

Вхідні потоки Процес Вихідні потоки  

Наявність вхідного потоку означає необхідність розвантаження транспорту, перевірки кількості та якості вантажу, що прибув. Вихідний потік обумовлює необхідність навантаження транспорту, внутрішній – необхідність переміщення вантажу всередині складу.  

Змішування потоків. Розглянемо спочатку випадок, коли в системі змішуються потоки чистих речовин, що мають однакову температуру Т. Позначимо через Nk число молей k-ro речовини, що надходить до системи в одиницю часу (мольна витрата). Процес змішування необоротний, виробництво ентропії може бути знайдено як різницю між ентропією вихідного та вхідних потоків. З урахуванням незмінності їхньої ентальпії отримаємо  

Функція (р залежить, як і F у виразі (1.79), від параметрів вхідного потоку та потоку, збагаченого цільовим компонентом  

Оскільки р

Помилкові значення містять константи та літерали. У розділі вхідні подібні помилки зустрічаються у вхідних потоках інформації користувача та файлах даних. Ці помилки є результатом невідповідності вхідних даних програмним специфікаціям. У розділі внутрішні такі помилки можуть виявлятися у вигляді констант або літералів, що входять до складу коду, який ініціалізує деякі обчислення.  

Робота користувача-бухгалтера при вирішенні завдань полягає у виконанні на ПЕОМ технологічних операцій (команд), що повторюються, що реалізуються в режимі активного діалогу шляхом набору команд на клавіатурі, або в автоматичному (програмному) режимі, при якому вхідний потік команд заздалегідь сформований в спеціальну програму(Командний файл). У режимі активного діалогу вирішуються різні завдання, що завчасно не передбачаються, видача різної довідкової, аналітичної та іншої інформації за запитом і в міру необхідності.  

Крім викладу математичних схем імітаційного моделювання в цьому розділі зіставляються аналітичне та імітаційне моделювання СМО з позиції адекватності об'єкту, що моделюється. Через війну такого зіставлення виникає важливий висновок у тому, що з аналітичному моделюванні СМО реальних об'єктів результати моделювання будь-коли відповідають поведінці об'єкта, оскільки дають значення параметрів СМО в режимі. Реальні ж об'єкти, які моделюються у вигляді СМО в режимі, що встановився, як правило, не знаходяться, так як вхідні потоки і самі СМО постійно змінюють свої параметри і розподілу, а отже, СМО весь час знаходиться в перехідному режимі. Лише імітаційне моделювання СМО, що не обмежує вхідні потоки вимогами стаціонарності, однорідності, відсутністю по-  

Вхідний потік заявок (вимог обслуговування) характеризується певною організацією та низкою параметрів (рис 5.1.1) інтенсивністю надходження заявок, тобто. числом заявок, що в середньому надійшли в одиницю часу, та законом розподілу ймовірностей моментів приходу заявок до системи.  

Синхронізуючий момент Рис. 5.1.1. Вхідний потік заявок  

Розглянемо більш детально характеристики вхідного потоку заявок та найпростіші СМО. Потоком однорідних подій називають тимчасову послідовність появи заявок обслуговування за умови, що це заявки рівноправні. Існують також потоки неоднорідних подій, коли та чи інша заявка має якийсь пріоритет.  

Таким чином, для найпростіших потоків та елементарних СМО можна аналітично обчислити їх якісні параметри. Реальні економічні об'єкти, як правило, представляють складні СМО як за структурою, так і за вхідними потоками та параметрами. У більшості випадків аналітичні висловлювання для оцінки якості СМО, що моделюють реальні економічні об'єкти та процеси, знайти не вдається. Застосування імітаційного методу до завдань масового обслуговування дозволяє знаходити необхідні показники якості економічних систем будь-якої складності, якщо вдається побудувати алгоритми імітації кожної частини СМО.  

Робота алгоритму полягає у багаторазовому відтворенні випадкових реалізацій процесу приходу заявок та процесу їх обслуговування за фіксованих умов завдання. Змінюючи умови завдання, параметри вхідних потоків та елементів СМО, можна отримати якісні параметри цієї СМО за тих чи інших змін. Якісні параметри СМО типу перерахованих вище для найпростіших вхідних потоків і елементарних СМО оцінюються шляхом статистичної обробки величин, що є якісними показниками функціонування СМО.  

Цей розподіл прийнято називати розподілом Пуассона, тому описаний нами вхідний потік заявок (у нашому випадку – автомобілів) називають пуассонівським. Ми не збираємося викладати тут висновок формул (2.1) та (2.2), читач знайде його у книзі Гнеденко Б. В., Курс теорії ймовірностей. – М. Наука, 1969.  

У даному прикладіми розглянули найпростіший випадок вхідний потік пуасонів, експоненційний час обслуговування , одна обслуговуюча установка. Насправді, в реальності, і розподіли бувають значно складніше, і АЗС включають більше бензоколонок. Для того щоб упорядкувати класифікацію систем масового обслуговування, американський математик Д. Кен-далл запропонував зручну системупозначень, що широко поширилася до теперішнього часу. Тип системи масового обслуговування Кендалл позначив з допомогою трьох символів, перший у тому числі описує тип вхідного потоку, другий - тип ймовірнісного опису системи обслуговування , а третій - кількість приладів. Символом М він позначав пуассонівський розподіл вхідного потоку (з експоненційним розподілом інтервалів між заявками), цей символ застосовувався і для експоненційного розподілу тривалості обслуговування. Таким чином, описана та вивчена у цьому параграфі система масового обслуговування має позначення М/М/1. Система M/G/3, наприклад, розшифровується як система з пуассонівським вхідним потоком, загальною (англійською - general) функцією розподілу часу обслуговування та трьома пристроями, що обслуговують. Зустрічаються й інші позначення D-детерміноване розподіл інтервалів між надходженням заявок або тривалостей обслуговування, Е - розподіл Ерланга порядку п і т. д. ефективності витрат). І для цього необхідна комплексна експертиза, яка неможлива без скрупульозного, глибокого і детального аналізу внутрішньої структури проекту, що дозволяє прокалькулювати витрати, що виробляються, і обчислити (описати) передбачувані вигоди. Тоді проект перестає бути "чорною скринькою", а розглядається як економічна система. Під економічною системою зазвичай розуміють комплекс взаємозалежних елементів, кожен із яких сам може розглядатися як система.  

Однак, є один ключовий компонент, який не враховувався у цьому аналізі приріст продуктивності. Згадаймо, що продуктивність праці визначається як реальна продукція, вироблена за годину роботи. Так само повний чинник продуктивності визначається як реальна продукція в одиницю сукупності всіх вхідних параметрів. Повний чинник продуктивності відбиває, частково, загальну ефективність, з якою вхідні параметри перетворюються на продукцію. Це часто пов'язується з технологією, але також відображає і вплив багатьох інших факторів, подібних до економії на масштабі, будь-яких неврахованих вхідних параметрів, перерозподілів ресурсів і так далі. Коли продуктивність зростає, зростання економіки (ВНП) може бути більшим, ніж зростання різниці між кількостями, що припливають (витрати уряду та експорт) і витікаючими (податки та імпорт), тому що більша кількість продукції на одиницю вхідного потоку створює нове багатство на агрегованому рівні. Як наслідок, видається, що аргументи Годлі не можна застосовувати безпосередньо.  

МГЦ-бхобящий б логістичну системуматеріальний потік (Вхідний потік)  

З наведених співвідношень можна зробити наступний висновок для заданої конструкції колони бінарної ректифікації, що визначає коефіцієнти тепло- і масопереносу, заданих складів потоків на вході і виході і продуктивності колони витрата пари, флегмове число і витрати тепла, що подається в куб, фіксовані і можуть бути знайдені наведеним вище співвідношенням. Якщо ж задані склади лише вхідного потоку, одного з потоків на виході та продуктивність за цільовим потоком, то може бути обрана частка відбору (концентрація другого потоку на виході), що мінімізує витрати енергії на поділ.  

КАНАЛ (обслуговування) (hannel, server) - одне з фундаментальних понять масового обслуговування теорії, що позначає функціональний елемент, що безпосередньо виконує заявку, що надійшла до масового обслуговування систему Це поняття в залежності від специфіки системи може мати різні інтерпретації, напр, к-л прилад, лінія зв'язку , що приймає вимоги, що поступають, кран-штабелер, комплектуючий замовлення на складі, і т п Випадковий характер вхідного потоку заявок обумовлює нерівномірність завантаження До в якийсь момент часу вони можуть бути пере-  

Основні елементи СМО

Торговий центр є однофазною багатоканальну системуз однією чергою кінцевої довжини. При заповненні черги заявка одержує відмову. Метою розв'язання задачі моделювання є визначення оптимальної кількості приладів обслуговування, щоб середній час перебування заявки у системі не перевищував заданого.

Структуру СМО можна так:

Системою масового обслуговуванняназивається система, яку у випадкові моменти часу приходять заявки, які потребують тому чи іншому виді обслуговування. В даному випадку, при моделюванні торгового центруроль заявок грають покупці, а роль приладів продавці.

Будь-яка система включає 4 основні елементи:

1) вхідний потік

2) черга та дисципліни обслуговування

3) прилад та канал обслуговування

4) вихідний потік

Вхідний потік

У процесі функціонування на вхід обслуговуючого приладу в невідомі заздалегідь моменти часу надходять заявки, які обслуговуються протягом деякого випадкового відрізку часу, після чого прилад звільняється і може прийняти таку заявку. Якщо заявка прийшла, коли прилад зайнятий, вона отримує відмову в обслуговуванні і встає в чергу. Через випадковий характер потоку заявок у якісь моменти часу в системі можуть виникати великі черги, а в інші система може працювати з недовантаженням або взагалі простоювати. Тому виникають завдання кількісної оцінки ефективності таких систем, що забезпечують мінімізацію сумарних витрат, пов'язаних із очікуванням та втратами з боку засобів обслуговування.

Вхідний потік може бути одновимірним та багатовимірним. Якщо вхід системи подається кілька різних потоків, він є многомерным. Будь-який вхідний потік представляється послідовністю однорідних подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу. Інтервал між двома подіями називається інтервалом надходження заявок.

Якщо інтервал надходження заявок випадкової величиною, тобто. змінюється за випадковим законом розподілу, то потік називається випадковим.

Потік називається найпростішим чи стаціонарним Пуассонівським потоком, якщо він має 3 властивості:

1) стаціонарність

2) безнаслідування

3) ординарність

Стаціонарність означає, що це ймовірнісні характеристики потоку залежить від часу. Безнаслідування означає, що події не залежать від передісторії. Ординарність – всі заявки проходять поодинці.

Черга та дисципліни її обслуговування

Під чергою розуміють лінійний ланцюжок, що вишиковуються в ряд заявок у тому чи іншому виді обслуговування. Залежно від наявності черги, СМО поділяються на системи без черги та системи з очікуванням.

СМО без черги - це системи, в яких заявка, що надійшла, отримує відмову у разі зайнятості приладу обслуговування.

СМО з очікуванням бувають обмеженими та необмеженими очікуванням. У системах з не обмеженим очікуваннямзаявка, що надійшла, рано чи пізно буде обслужена. У системах з обмеженим очікуванням на час перебування заявок у системі накладається ряд обмежень щодо часу перебування заявок у черзі, часу перебування заявок у системі тощо.

Для регулювання та координації роботи черги використовуються дисципліни:

1) дисципліна заповнення черги

2) дисципліна вибору заявок із черги

До дисциплін заповнення черги належать:

1) природна форма заповнення

2) кільцева форма заповнення

3) пошукова форма

4) пріоритетна форма заповнення зі зрушенням інших заявок

Дисципліни вибору заявок із черги включають 3 типи:

1) першим прийшов – першим обслужений

2) останнім прийшов – першим обслужений

3) вибір заявок з пріоритету

При вирішенні завдань управління, у тому числі й управління військами, часто виникає низка однотипних завдань:

• оцінка пропускної спроможності напряму зв'язку, залізничного вузла, шпиталю тощо;
• оцінка ефективності ремонтної бази;
• визначення кількості частот для радіомережі та ін.

Всі ці завдання однотипні тому, що у них присутній масовий попит обслуговування. У задоволенні цього попиту бере участь певна сукупність елементів, що створює систему масового обслуговування (СМО) (рис. 2.9).

Елементами СМО є:

• вхідний (вхідний) потік вимог(Заявок) на обслуговування;
• прилади (канали) обслуговування;
• черга заявок, що чекають на обслуговування;
• вихідний ( вихідний) потікобслужених заявок;
• потік необслуговуваних заявок;
• черга вільних каналів (для багатоканальних СМО).

Вхідний потік- це сукупність заявок обслуговування. Часто заявка ототожнюється із її носієм. Наприклад, потік несправної радіоапаратури, що надходить у майстерню об'єднання, є потік заявок - вимог на обслуговування в даній СМО.

Як правило, на практиці мають справу з так званими рекурентними потоками - потоками, що володіють властивостями:

• стаціонарності;
• ординарності;
• обмеженої післядії.

Перші дві якості ми визначили раніше. Що стосується обмеженої післядії, то воно полягає в тому, що інтервали між заявками, що надходять, є незалежними випадковими величинами.

Рекурентних потоків багато. Кожен закон розподілу інтервалів породжує свій рекурентний потік. Рекурентні потоки інакше називають потоками Пальма.

Потік з повною відсутністюпіслядії, як зазначалося, називається стаціонарним пуассонівським. У нього випадкові інтервали між заявками мають експоненційний розподіл:

тут – інтенсивність потоку.

Назва потоку - пуасонівський - походить від того, що для цього потоку ймовірністьПоява заявок за інтервал визначається законом Пуассона:

Потік такого типу, як зазначалося раніше, називають найпростішим. Саме такий потік припускають проектувальники розробки СМО. Викликано це трьома причинами.

По перше, Потік цього типу в теорії масового обслуговування аналогічний нормальному закону розподілу в теорії ймовірностей у тому сенсі, що до найпростішого потоку призводить граничний перехід для потоку, що є сумою потоків з довільними характеристиками при нескінченному збільшенні доданків та зменшенні їх інтенсивності. Тобто сума довільних незалежних (без переважання) потоків з інтенсивністю є найпростішим потоком з інтенсивністю

По-другеякщо обслуговуючі канали (прилади) розраховані на найпростіший потік заявок, то обслуговування інших типів потоків (з тією ж інтенсивністю) буде забезпечено з не меншою ефективністю.

По-третє, саме такий потік визначає марківський процес у системі і, отже, простоту аналітичного аналізу системи. За інших потоків аналіз функціонування СМО складний.

Часто зустрічаються системи, у яких потік вхідних заявок залежить кількості заявок, що у обслуговуванні. Такі СМО називають замкнутими(інакше - розімкнутими). Наприклад, робота майстерні зв'язку може бути представлена ​​моделлю замкнутої СМО. Нехай ця майстерня варта обслуговування радіостанцій, що у об'єднанні . Кожна з них має інтенсивність відмов. Вхідний потік апаратури, що відмовила, матиме інтенсивність:

де - кількість радіостанцій, що вже знаходяться в майстерні на ремонті.

Заявки можуть мати різні права початку обслуговування. У цьому випадку кажуть, що заявки неоднорідні. Переваги одних потоків заявок перед іншими задаються шкалою пріоритетів.

Важливою характеристикою вхідного потоку є коефіцієнт варіації:

де – математичне очікування довжини інтервалу;

Середньоквадратичне відхилення випадкової величини (довжини інтервалу).

Для найпростішого потоку

Для більшості реальних потоків.

При потік регулярний, детермінований.

Коефіцієнт варіації- характеристика, що відбиває ступінь нерівномірності надходження заявок.

Канали (прилади) обслуговування. У СМО можуть бути один або кілька приладів (каналів). Відповідно до цього СМО називають одноканальними або багатоканальними.

БагатоканальніСМО можуть складатися з однотипних чи різнотипних приладів. Приладами, що обслуговують, можуть бути:

• лінії зв'язку;
• майстри ремонтних органів;
• злітно-посадкові смуги;
• транспортні засоби;
• причали;
• перукарі, продавці та ін.

Основна характеристика каналу – час обслуговування. Як правило, час обслуговування – величина випадкова.

Зазвичай практики вважають, що час обслуговування має експоненційний закон розподілу:

де - Інтенсивність обслуговування, ;

Математичне очікування часу на обслуговування.

Тобто процес обслуговування – марківський, а це, як тепер нам відомо, дає суттєві зручності в аналітичному математичному моделюванні.

Крім експоненціального зустрічаються -розподіл Ерланга, гіперекспоненціальний, трикутний та деякі інші. Це не повинно бентежити, оскільки показано, що значення критеріїв ефективності СМО мало залежить від виду закону розподілу ймовірностей часу обслуговування.

При дослідженні СМО випадає з розгляду сутність обслуговування, якість обслуговування.

Канали можуть бути абсолютно надійнимитобто не виходити з ладу. Точніше, може бути прийнято щодо. Канали можуть мати кінцевою надійністю. В цьому випадку модель СМО значно складніша.

Черга заявок. В силу випадкового характеру потоків заявок і обслуговування заявка, що прийшла, може застати канал (канали) зайнятим обслуговуванням попередньої заявки. У цьому випадку вона або залишить СМО не обслуженою, або залишиться в системі, очікуючи на початок свого обслуговування. Відповідно до цього розрізняють:

• СМО із відмовими;
• СМО з очікуванням.

СМО з очікуваннямхарактеризуються наявністю черг. Черга може мати обмежену або необмежену ємність: .

Дослідника зазвичай цікавлять такі статистичні характеристики, пов'язані з перебуванням заявок у черзі:

• середня кількість заявок у черзі за інтервал дослідження;
• середній час перебування (очікування) заявки у черзі. СМО з обмеженою ємністю чергивідносять до СМО змішаного типу.

Нерідко зустрічаються СМО, у яких заявки мають обмежений час перебування у черзінезалежно від її ємності. Такі СМО також відносять до СМО змішаного типу.

Потік, що виходить- це потік обслужених заявок, що залишають СМО.

Трапляються випадки, коли заявки проходять через кілька СМО: транзитний зв'язок, виробничий конвеєр і т. п. У цьому випадку вихідний потік є вхідним для наступної СМО. Сукупність послідовно пов'язаних між собою СМО називають багатофазними СМОабо мережами СМО.

Вхідний потік першої СМО, пройшовши через наступні СМО, спотворюється і це ускладнює моделювання. Однак слід мати на увазі, що при найпростішому вхідному потоці та експоненційному обслуговуванні (тобто в марківських системах) вихідний потік теж найпростіший. Якщо час обслуговування має не експоненційний розподіл, то потік, що виходить, не тільки не найпростіший, але і не рекурентний.

Зауважимо, що інтервали між заявками вихідного потоку, це не те саме, що інтервали обслуговування. Адже може виявитися, що після закінчення чергового обслуговування СМО якийсь час простоює через відсутність заявок. У цьому випадку інтервал вихідного потоку складається з часу незайнятості СМО та інтервалу обслуговування першої заявки, що прийшла після простою.

Основне завдання ТСМО полягає у встановленні залежності між характером потоку заявок на вході СМО, продуктивністю одного каналу, числом каналів та ефективністю обслуговування.

Як критерій ефективності можуть бути використані різні функціїта величини:

• середній час простою системи;
• середній час очікування у черзі;
• закон розподілу тривалості очікування вимоги у черзі;
• середній % заявок, які отримали відмову; і т.д.

Вибір критерію залежить від типу системи. Наприклад, для систем з відмовамиголовною характеристикою є абсолютна пропускна здатністьСМО; менш важливі критерії - кількість зайнятих каналів, середній відносний час простою одного каналу та системи загалом. Для систем без втрат(З необмеженим очікуванням) найважливішим є середній час простою в черзі, середня кількість вимог у черзі, середній час перебування вимог у системі, коефіцієнт простою та коефіцієнт завантаження обслуговуючої системи.

Сучасна ТСМО є сукупністю аналітичних методівдослідження перерахованих різновидів СМО. Надалі з усіх досить складних та цікавих методіввирішення завдань масового обслуговування будуть викладені методи, що описуються у класі марківських процесів типу “загибель та розмноження”. Це тим, що ці методи найчастіше використовують у практиці інженерних розрахунків.

2. Математичні моделі потоків подій.

2.1.

Регулярний та випадковий потоки.

Одним із центральних питань організації СМО є з'ясування закономірностей, яким підпорядковуються моменти надходження до системи вимог обслуговування. Розглянемо найуживаніші математичні моделі вхідних потоків. Визначення:

1. Потік вимог називають однорідним, якщо він відповідає умовам:

всі заявки потоку з погляду обслуговування є рівноправними; замість вимог (подій) потоку, які за своєю природою можуть бути різними, розглядаються як

на моменти їх надходження. Визначення:

Регулярним називаються потік, якщо події у потоці слідують один за одним через суворі інтервали часу. Функція

f (х) щільності розподілу ймовірності випадкової величини Т – інтервалу часу між подіями має при цьому вигляд: - Дедельта функція, М т - математичне очікування, причому М т = Т, дисперсія D т = 0 і інтенсивність настання подій у потік

на моменти їх надходження. =1/M т =1/T. Потік називаютьвипадковим

якщо його події відбуваються у випадкові моменти часу.

Випадковий потік може бути описаний як випадковий вектор, який, як відомо, може бути заданий однозначно законом розподілу двома способами: Де,zi- значення Ti(i=1,n),

У цьому випадку моменти настання подій можуть бути обчислені таким чином

t 1 = t 0 +z1

………,

t 0 – момент початку потоку.

2.2.

Найпростіший пуасонівський потік.Для вирішення великої кількості прикладних завдань буває достатнім застосувати математичні моделі однорідних потоків, що задовольняють вимогам стаціонарності, без наслідків і ординарності.Визначення: Потік називається стаціонарним, якщо ймовірність появи n

Одним із центральних питань організації СМО є з'ясування закономірностей, яким підпорядковуються моменти надходження до системи вимог обслуговування. Розглянемо найуживаніші математичні моделі вхідних потоків. подій на інтервалі часу (t, t+T) залежить від його розташування на часовій осі t.Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність появи двох чи більше подій протягом елементарного інтервалу часу D tє величина нескінченно мала проти ймовірністю появи однієї події у цьому інтервалі, тобто.

на моменти їх надходження. при n=2,3,…Потік подій називається

на моменти їх надходження. Якщо потік задовольняє вимогам стаціонарності, ординарності і без наслідків він називається найпростішим, пуасонівським потоком.

Доведено, що для найпростішого потоку число nподій, що потрапляють на будь-який інтервал zрозподілено згідно із законом Пуассона:

(1)

Імовірність того, що на інтервалі часу z не з'явиться жодна подія дорівнює:

(2)

тоді ймовірність протилежної події:

де за визначенням P(T це функція розподілу ймовірності Т.Звідси отримаємо, що випадкова величина Т розподілена за показовим законом:

(3)

параметр називають густиною потоку. Причому,

2.3.1. Відомі дві властивості найпростішого потоку, які можуть бути використані при вирішенні практичних завдань.Введемо величину a=х.

Ще одна властивість найпростішого потоку пов'язана з наступною теоремою: Теорема:< При показовому розподілі інтервалу часу між вимогами Т, незалежно від того, скільки він тривав, частина, що залишилася, має той же закон розподілу.Доказ: нехай Т розподілено за показовим законом:

P((T>a)(T-a

z) P(T-a a) = P(T>a) Fa (z). Звідси,

рівносильно події а