Grup bölücü. Grupların normal bölenleri. Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Görev 1. a) tamsayılar kümesi; b) çift tamsayılardan oluşan kümeler; c) toplama işlemine göre tek tam sayılar kümeleri.

Çözüm.Çift tam sayılar kümesini Z 2 n ile ve tek tam sayılar kümesini Z 2 n -1 ile gösterelim. Z kümesi ve Z 2 n kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Aslında iki tam sayıyı topladığımızda bir tam sayı elde ederiz; iki çift tam sayıyı topladığımızda aynı zamanda bir çift tam sayı elde ederiz. Aksine iki tek sayı toplandığında tek sayı elde edilmez, bu da Z 2 n -1 kümesinin toplama işleminde kapalı olmadığını gösterir.

Grubun diğer aksiyomlarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. Toplama bir ilişkisel işlemdir. Toplama açısından Z ve Z 2 n kümelerindeki nötr eleman 0'dır. Ayrıca, herhangi bir tam sayı için (çift tam sayı), karşıt sayısı da bir tam sayıdır (çift tam sayı).

Böylece şu sonuca varabiliriz
– gruplar ve
bir grup tanımının yanı sıra monoid ve yarı grup tanımlarını da karşılamaz.

Aynı zamanda her iki grup da
Ve
Toplamanın değişme özelliği nedeniyle değişmelidir (Abelian).

Görev 2.Çift tam sayılar kümesinin, tam sayıların toplamsal grubunun bir alt grubunu oluşturduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Daha önce kanıtlanmıştı ki
– grup. burada
. Böylece kanıtlanmıştır ki
– grubun alt grubu
.

Görev 3. Bir grubun koset sınıflarını bulun
alt gruba göre
.

Çözüm. Gösterimde kolaylık sağlamak için şunu gösterelim
. Bir grubun sol kosetleri
alt gruba göre
aşağıda sunulmaktadır:

Açıkçası, sol kosetler karşılık gelen sağ sınıflarla çakışmaktadır. Bu, toplamanın değişmeli doğasının bir sonucudur. Bu nedenle, çift tamsayılar grubu, tamsayıların toplamsal grubunun normal bölenidir.

Ele alınan örnek, diğer şeylerin yanı sıra, kosetlerle ilgili bir takım temel gerçekleri göstermektedir:

a) ortak kümelerden biri H alt grubunun kendisidir (bu durumda H + 0 ortak kümesidir);

b) herhangi iki bitişik sınıf ya çakışır (örneğin, H + 0 ve H + 2) ya da hiç kesişmez (örneğin, H + 0 ve H + 1);

c) koset seti (örneğin, soldakiler) grubun desteğinin bir bölümünü oluşturur; bu durumda
.

Şunun için görevler: bağımsız karar

Tanımlar

Alt grup N gruplar G isminde normal, eğer çekimler altında değişmezse, yani herhangi bir eleman için N itibaren N Ve herhangi biri G itibaren G, öğe GNG − 1 yatıyor N :

Aşağıdaki alt grup normallik koşulları eşdeğerdir:

Koşul (1), mantıksal olarak (2)'den daha zayıftır ve koşul (3), mantıksal olarak (4)'ten daha zayıftır. Bu nedenle, bir alt grubun normalliğini kanıtlarken sıklıkla (1) ve (3) koşulları kullanılır ve normalliğin sonuçlarını kanıtlamak için (2) ve (4) koşulları kullanılır.

Örnekler

• {e) Ve G- her zaman normal alt gruplar G. Bunlara önemsiz denir. Başka normal alt grup yoksa grup G basit denir.

• Grubun merkezi normal bir alt gruptur.

• Bir grubun komütatörü normal bir alt gruptur.

• Konjugasyon her zaman bir otomorfizm olduğundan herhangi bir karakteristik alt grup normaldir.

• Tüm alt gruplar N değişmeli grup G normal çünkü GN = NG . Her alt grubu normal olan Abelyen olmayan bir gruba Hamiltonyen denir.

• Herhangi bir boyuttaki bir uzaydaki paralel ötelemeler grubu, Öklid grubunun normal bir alt grubudur; örneğin üç boyutlu uzayda döndürme, öteleme ve döndürme ters taraf basit bir değişimle sonuçlanır.

• Bir Rubik Küp grubunda, yalnızca köşe elemanlarına etki eden işlemlerden oluşan bir alt grup normaldir, çünkü hiçbir eşlenik dönüşüm böyle bir işlemin köşe elemanı yerine kenar eleman üzerinde hareket etmesine neden olmaz. Buna karşılık yalnızca üst yüzün dönüşlerinden oluşan bir alt grup normal değildir çünkü montaj ilişkileri üst yüzün bazı kısımlarının aşağı taşınmasına izin verir.

Özellikler

• Örtülen homomorfizmalar ve ters görüntülerin alınması altında normallik korunur.
• Doğrudan bir ürün oluşturulurken normallik korunur.
• Normal bir alt grubun normal bir alt grubunun grupta normal olması gerekmez, yani normallik geçişli değildir. Ancak normal bir alt grubun karakteristik alt grubu normaldir.
• İndeks 2'nin her alt grubu normaldir. Eğer P- en küçük asal sıra bölen G, ardından dizinin herhangi bir alt grubu P normal.
• Eğer N- normal alt grup G, daha sonra sol (sağ) kosetler setinde G / N grup yapısına kurala göre girebilirsiniz

• N ancak ve ancak sol kosetlere önemsiz bir şekilde etki ediyorsa normaldir G / N .

Tarihsel gerçekler

Évariste Galois normal alt grupların önemini anlayan ilk kişiydi.

Bağlantılar

• Vinberg E.B. Cebir kursu - M.: Factorial Press Yayınevi, 2002, ISBN 5-88688-060-7

Wikimedia Vakfı. 2010.

• Normal Markov algoritması
• Normal elektrot potansiyeli

Diğer sözlüklerde “Normal bölen”in ne olduğunu görün:

Normal bölen- E. Galois tarafından tanıtılan, grup teorisinin temel kavramlarından biri olan değişmez bir alt grup (Grup'a bakınız). Bir G grubunun d'si, G grubunun herhangi bir g elementi seçimi için gH = Hg olan bir H alt grubudur ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

NORMAL BÖLÜM- normal bir alt grup, değişmez bir alt grup, G grubunun bir alt grubu H; bunun için, H alt grubundaki G grubunun sol taraftaki ayrışımı sağ taraftaki ile çakışır, yani herhangi bir element için aşağıdaki gibi bir alt grup: aH ve Ha kosetleri eşittir (bu anlamda... ... Matematik Ansiklopedisi

Normal alt grup serisi- İçin Genel açıklama grup teorisi, bkz. Grup (matematik) ve Grup teorisi. İtalik harfler bu sözlüğe bir referansı gösterir. # A B C D E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Vikipedi

Normal satır- Grup teorisinin genel bir açıklaması için bkz. Grup (matematik) ve Grup teorisi. İtalik harfler bu sözlüğe bir referansı gösterir. # A B C D E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Vikipedi, topolojik bir grup olarak kompakt bir topolojik gruptur. uzay. Örneğin, her sonlu grup (ayrı bir topolojide), kompakt bir topolojik grup olmasına rağmen cebirsel bir gruptur. uzay (Zariski topolojisine göre) ... Matematik Ansiklopedisi

LEE - KOLÇİNA TEOREMİ- GL(V) grubunun çözülebilir bir G alt grubu (V, cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır), en fazla, p'nin yalnızca dim V'ye bağlı olduğu, öyle ki V'de olduğu gibi, indeksin normal bir G1 bölenine sahiptir. G1'e göre değişmez bir bayrak.… … Matematik Ansiklopedisi

TOPOLOJİK GRUP- üzerinde iki grup yapısının ve bir topolojik yapının verildiği bir G kümesi. grup operasyonlarının sürekliliği koşuluyla tutarlı alanlar. Yani, doğrudan bir çarpımın G'ye eşlenmesi sürekli olmalıdır. Alt grup N T. G, T. g'dir... ... Matematik Ansiklopedisi

Giriş 2
1. Grupların tanımı ve örnekleri 4
2. Alt Gruplar 8
3. Döngüsel gruplar. 13
4. Normal bölenler, faktör grupları 17
5. Bir grup içindeki bir alt grubun ideali. Lagrange teoremi ve sonuçları. 22
6. Problem çözerken normal grup bölenlerini kullanmak 26
Sonuç 29
Referanslar 30

giriiş

Yüksek cebir, okuldaki ilkokul cebir dersinin ana içeriğinin geniş kapsamlı, ancak oldukça doğal bir genellemesidir. Esas olarak matrisler teorisine ve ilgili vektör uzaylarının doğrusal dönüşümleri teorisine ayrılmış büyük bir bilim olan doğrusal cebir, aynı zamanda diferansiyel geometride önemli bir rol oynayan formlar teorisini, değişmezler teorisini ve tensör cebirini de içerir. Vektör uzayları teorisi cebirin dışında fonksiyonel analizde (sonsuz boyutlu uzaylar) daha da geliştirildi. Hem matematik hem de mekanikteki uygulamaların çeşitliliği ve önemine göre fizik ve teknik bilimler Doğrusal cebir, cebirin birçok dalı arasında ilk sırada yer almaktadır.
Alan teorisi, denklem teorisinin daha da geliştirilmesi için doğal bir alan olduğu ortaya çıktı ve ana dalları - cebirsel sayı alanları teorisi ve cebirsel fonksiyon alanları teorisi - onu sırasıyla sayı teorisi ve fonksiyonlar teorisi ile bağladı. karmaşık bir değişkenin Yüksek cebir dersi, alan teorisine temel bir giriş içerir ve dersin bazı bölümleri (birkaç bilinmeyenli polinomlar, bir matrisin normal formu) keyfi bir temel alan durumu için hemen sunulur.
Bir alan kavramından daha geniş olan bir halka kavramıdır. Alan durumundan farklı olarak burada bölmenin yapılabilirliğine artık gerek yoktur ve ayrıca çarpma değişmeli ve hatta birleşmesiz olabilir. Halkaların en basit örnekleri, tüm tamsayılardan oluşan bir küme (negatif olanlar dahil), bir bilinmeyenli polinom sistemi ve bir gerçek değişkenin gerçek fonksiyonlarından oluşan bir sistemdir. Halka teorisi, hiper karmaşık sistemler teorisi ve idealler teorisi gibi cebirin eski dallarını içerir, bir dizi matematik bilimiyle / özellikle fonksiyonel analizle ilişkilidir ve halihazırda fizikte bazı çıkış noktaları bulmuştur. Yüksek cebirin seyri özünde yalnızca halka kavramının tanımını içerir.
Grup teorisinin daha da geniş bir uygulama alanı vardır. Bir grup, tek bir temel işleme sahip cebirsel bir sistemdir ve bu işlem, zorunlu olarak değişmeli olmasa da ilişkisel olmalıdır ve ana işleme çarpma denirse, ters bir bölme işlemine sahip olmalıdır. Örneğin, toplama işlemine göre ele alınan tam sayıların toplanmasının yanı sıra, çarpma işlemine göre dikkate alınan pozitif reel sayıların toplanması da buna benzerdir. Çalınan gruplar büyük rol Galois teorisinde zaten denklemlerin radikallerde çözülebilirliği sorunu vardı, ancak şimdi bunlar alan teorisinde, geometrinin birçok dalında, topolojide ve ayrıca matematik dışında kristalografide, teorik fizikte önemli bir araçtır. Grup teorisi genel olarak uygulama alanının genişliği açısından cebirin tüm dalları arasında doğrusal cebirden sonra gelir.
Bu çalışmanın konusu grupların normal bölenleridir.
Görevler:
1. Bir grup ve bir alt grup tanımlayın, grup örneklerini düşünün.
2. Döngüsel grupları düşünün.
3. Normal bölenler kavramını düşünün
4. Lagrange teoremini ve sonuçlarını verin.
5. Problemleri çözerken normal grup bölenlerini kullanmayı düşünün.

Kullanılan kaynakların listesi

1. Kulikov L.Ya. ve sayılar teorisi: Ders Kitabı. pedagoji enstitüleri için el kitabı. - : Daha yüksek okul, 1979. – 559 s., hasta.
2. Kostrikin A.I. Cebire giriş: Üniversiteler için ders kitabı. – M.: Fizmatlit, 2004. – 272 s.
3. Faddeev D.K. Yüksek cebirde problemlerin toplanması. – M.: Nauka, 1977. – 288 s.
4. Kurosh A.G. Yüksek cebir dersi. – M.: Nauka, 1968.
5. Okunev L.Ya. Yüksek cebirde problemlerin toplanması - M.: Eğitim, 1964.

Genel hacim: 30 s.

Yıl: 2013

g 1 = (G 1 , ⋅, 1) ve g 2 = (G 2 , ⋅, 1) grupları verilsin. f: G 1 → G 2 eşlemesine g 1 grubunun gruptaki homomorfizmi denir. g 2 (grup homomorfizmi) eğer herhangi bir x, y ∈ G 1 için f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) eşitliği varsa, yani g 1 grubunun herhangi iki elemanının f eşlemesi altındaki çarpımının görüntüsü, g 2 grubundaki görüntülerinin çarpımına eşittir.

Eğer f eşlemesi örten (bijektif) ise, o zaman buna grupların epimorfizmi (izomorfizmi) denir. Bu durumda g1 grubunun g2 grubu üzerindeki bir epimorfizminden (izomorfizm) de söz edilir.

Açıklama 2.5. g 1 ve g 2 gruplarının işlemlerini, genellikle aynı türdeki cebirler için yapıldığı gibi aynı şekilde belirttik, ancak elbette bunlar farklı grupların farklı işlemleridir.

Örnek 2.21. g 1 = (ℤ, +, 0) tamsayıların toplam grubu olsun ve g 2 = ℤ + k- artıkların katkı grubu modulo k.

f eşlemesini şu şekilde tanımlayalım: herhangi bir m tamsayısı için, f(m) görüntüsü, m'nin k'ye bölümünden kalana eşittir. Herhangi bir tamsayı türü için f(m + n) = f(m ⊕ k f(n) eşitliğinin geçerli olup olmadığını, yani tamsayılar için toplamın k'ye bölünmesinin geri kalanının geçerli olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. toplamına eşit her terimin k'ye bölümünden kalanın modulo k'sı.

Sonuç olarak, bu eşleme g1 grubunun g2 grubuna bir homomorfizmidir. Ayrıca, 0'dan k-1'e kadar olan herhangi bir tam sayı, bir sayının k'ye bölünmesinin bir kalanı olduğundan, f'nin eşleştirilmesi aynı zamanda g1 grubunun g1 grubu üzerine bir epimorfizmidir.

Teorem 2.14. g 1, g 2 keyfi gruplar olsun. Eğer f: g 1 → g 1 bir homomorfizm ise, o zaman:

1. f eşlemesi altındaki g 1 grubunun biriminin (nötr eleman) görüntüsü g 2 grubunun birimidir, yani. f(1) = 1;
2. g 1 grubunun herhangi bir x elemanı için, x-1 elemanının görüntüsü, f(x) elemanının tersi olan -1 elemanıdır, yani. f(x -1) = -1 .

◀ Homomorfizmin tanımına göre, keyfi x ∈ g 1 için f(x) ⋅ f(1) = f(x ⋅ 1) elde ederiz. Sonra, f(x ⋅ 1) = f(x), yani. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Dolayısıyla f(1) = (f(x)) -1 ⋅ f(x) = 1, yani. f(1) = 1

Teoremin ikinci ifadesini kanıtlayalım. Homomorfizmin tanımını ve teoremin zaten kanıtlanmış ilk ifadesini kullanarak şunu elde ederiz:

f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, yani. f(x -1) = -1

f(G 1) kümesi - f homomorfizmi altındaki g 1 grubunun desteğinin görüntüsü - g 2 grubunun çarpımı altında kapalıdır. Aslında, eğer g 2, g 2 " ∈ f(g 1), o zaman f (g 1) = g 2 ve f (g 1 ") = g 2 " olacak şekilde g 1, g 1 " ∈ g 1 vardır. Daha sonra

g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).

Teorem 2.14'ten f(g 1)'in bu grubun kimliğini ve her elemanla birlikte onun ters elemanını içerdiği sonucu çıkar. Bu, desteği f(g 1) kümesi olacak g 2 grubunun bir alt grubunu tanımlamanın mümkün olduğu anlamına gelir. Bu gruba g1 grubunun f homomorfizmi altındaki homomorfik görüntüsü denir.

grup k grup üzerinde g grubunun bir homomorfizmi varsa buna basitçe g grubunun homomorfik görüntüsü denir k . Yani grup ℤ * k herhangi bir k > 1 tam sayıların toplamsal grubunun homomorfik bir görüntüsüdür (bkz. Örnek 2.21).

Bir sonraki örneğe bakalım.

Örnek 2.22. Karmaşık sayıların çarpımsal grubunu (C\ (0), ⋅, 1) karmaşık sayıların olağan çarpma işlemiyle düşünün. Bu grubun karmaşık sayılar alanının çarpımsal grubundan başka bir şey olmadığını anlamak kolaydır.

Grubu da düşünün M Matris çarpımı işlemiyle ikinci dereceden 2 tekil olmayan kare matris (bkz. örnek 2.9.e).

Sıfır olmayan keyfi bir karmaşık sayı için a + bi olduğunu varsayarak, karmaşık sayılar ℂ kümesinin ikinci dereceden kare matrisler kümesine bir f eşlemesini tanımlayalım:

f'nin bir grup homomorfizmi olduğunu gösterelim. Bir tarafta,

f[(a + bi)(c + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =

Diğer tarafta,

Buradan,

f[(a + bi)(c + di)] = f(a + bi) f(c + di).

Dolayısıyla, f haritası grupların bir homomorfizmidir ve f altındaki karmaşık sayıların çarpımsal grubunun homomorfik görüntüsü bir alt gruptur k matris grupları M 2, formun matrislerinden oluşur Burada formun herhangi bir matrisinin, f haritası altındaki belirli bir karmaşık sayının (yani a + bi) görüntüsü olduğunu hesaba kattık. Grup k - grubun kendi alt grubu M 2 . #

Grup homomorfizmalarının önemli bir özelliğini kanıt olmadan formüle edelim.

Teorem 2.15. Eğer f, g grubunun K grubuna homomorfizmi ise ve g, K grubunun L grubuna homomorfizmi ise, o zaman f॰g haritalarının bileşimi g'nin L grubuna homomorfizmidir. #

Grup izomorfizmalarının bazı özelliklerini ele alalım.

Teorem 2.16. Eğer f: g1 → g2, g1 grubunun g2 grubu üzerindeki bir izomorfizmi ise, o zaman f eşlemesinin tersi olan f-1 eşlemesi, g2 grubunun g1 grubu üzerindeki bir izomorfizmidir.

◀x ve y, g 2 grubunun keyfi elemanları olsun, ayrıca x = f(u) ve y = f(v) olsun; burada u ve v, g 1 grubunun elemanlarıdır.

f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),

onlar. f -1 eşlemesi ikinci grubun birinciye bir homomorfizmidir. Ancak bir eşleştirmenin tersi olan harita bir eşleştirme olduğundan, f-1, g2 grubunun g1 grubuna bir izomorfizmidir.

g ve K gruplarına denir izomorfik Bunlardan birinin diğerine izomorfizmi varsa. Bu durumda g ≅ K tanımı kullanılır.

Cebirsel özellikleri açısından izomorfik gruplar tamamen aynıdır, ancak elemanları farklı doğalara sahip olabilir. Bu bağlamda örnek 2.22'ye dönelim. Orada tanımlanan bir karmaşık sayılar kümesinin özel bir formdaki bir kare matrisler kümesine eşleştirilmesinin bir eşleştirme olduğunu doğrulamak kolaydır. Sonuç - Sonuç olarak, karmaşık sayıların çarpımsal grubu ve matris çarpımı işlemiyle belirtilen türdeki matris grubu izomorfiktir, ancak bu grupların elemanlarının ilk bakışta birbirleriyle hiçbir ortak yanı yoktur.

Tanım 2.8. Homomorfizmin özü f grup g'den gruba İLE f homomorfizmi altında bir g grubunun biriminin Ker f'nin ters görüntüsü denir: Kerf = f -1 (1)⊆ G.

Örnek 2.23. Örnek 2.21'de ele alınan homomorfizmin çekirdeği, k'ye bölünebilen tüm tam sayıların kümesidir.

Teorem 2.17. Bir f: g → K homomorfizminin Kerf çekirdeği, g grubunun bir alt grubudur.

◀Ker f kümesinin Q grubunun çarpımına göre kapalı olduğundan, bu grubun kimliğini içerdiğinden ve her elemanıyla birlikte onun ters elemanını içerdiğinden emin olmanız gerekir.

Eğer a, b ∈ Ker f ise, yani f(a) = f(b) = 1, bu durumda f(ab) = f(a)f(b) = 1 ve ab ∈ Kerf. f(1) = 1 olduğundan 1 ∈ Kerf olduğu açıktır (bkz. Teorem 2.14). Eğer a ∈ Kerf ise f(a -1) = -1 = 1 -1 = 1, yani. ve a -1 ∈ Kerf.

Örnek 2.21'de verilen homomorfizmin çekirdeği, k'nin tüm katlarından oluşan tamsayıların toplamsal grubunun bir alt grubudur.

g grubunun H alt grubuna denir normal alt grup (normal bölen) Herhangi bir a ∈ G için aH = Na ise g grubu.

Yukarıda belirtildiği gibi değişmeli grupta aH = = Ha. Dolayısıyla bu durumda herhangi bir alt grup normal bölendir.

H = (H, ⋅, 1) g = (G, ⋅, 1) grubunun bir alt grubu olsun. a, b ∈ G sabit elemanları için aHb, h ∈ H olmak üzere ahb formundaki tüm çarpımların kümesini göstersin. Grup işleminin ilişkilendirilebilirliği nedeniyle bu gösterim doğrudur.

Teorem 2.18. H = (H, ⋅, 1) alt grubu, ancak ve ancak herhangi bir a ∈ G için aHa -1 ⊆ H olması durumunda g = (G, ⋅, 1) grubunun normal bir alt grubudur.

◀Eğer H normal bir bölen ise, herhangi bir a ∈ G aH = = Na için, yani herhangi bir h ∈ H için h 1 ∈ H vardır, öyle ki аh = = h 1 a. x ∈ aHa -1 elemanı olsun, yani. Bazı h ∈ H için x = aha -1. ah = h 1 a olduğundan, x = h 1 aa -1 = h 1 ∈ H ve dolayısıyla aHa -1 ⊆ H.

Tersine, eğer aHa -1 ⊆ H ise, h ∈ H olmak üzere herhangi bir x = aha -1 elemanı da H kümesine aittir, yani. aha -1 = h 1, bazı h 1 ∈ H için. Dolayısıyla, son eşitliği sağdaki a ile çarparak ah = h 1 a, yani. sol koset aH'den gelen ah öğesi aynı zamanda sağ koset Ha'ya da aittir. Yani aH ⊆ Na.

Şimdi, keyfi bir a ⊆ G için, a'nın tersi olan a -1 elemanını alıyoruz ve bunun için a -1 On ⊆ H dahil edilmesini yazıyoruz ((a -1) -1 = a'yı hatırlayın). Yukarıdaki gibi akıl yürüterek, bazı h, h 1 ∈ H için a -1 h = h 1 a -1 eşitliğinin geçerli olduğunu bulduk, yani. ha = ah 1 ve Ha ⊆ aH. Yani aH = Ha ve H normal bölendir.

Normal bölen kavramı ile homomorfizm kavramı arasında, Bölüm 1'den zaten bildiğimiz haritalama ve eşdeğerlik sınıfı kavramları arasındaki bağlantıyı yeni bir düzeyde sürdüren ve derinleştiren bir bağlantı olduğu ortaya çıktı.

Teorem 2.19. Bir g grubunun bir gruba f homomorfizminin çekirdeği k g grubunun normal bölenidir.

Herhangi bir y ∈ Ker f ve herhangi bir a ∈ G için elimizdeki

f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1

Bu, herhangi bir a ∈ G için a(Ker f)a -1 ⊆ Ker f ilişkisinin geçerli olduğu ve Teorem 2.18'e göre Kerf'in normal bölen olduğu anlamına gelir.

H = (H, ⋅, 1) g = (G, ⋅, 1) grubunun normal böleni olsun. Tüm sol kosetlerin kümesini düşünün (aH: a ∈ G). Bu, yukarıda tanımlanan ~H eşdeğerlik ilişkisine göre G kümesinin bölüm kümesinden başka bir şey olmayacaktır (bkz. Teorem 2.11).

Tüm sol kosetler kümesinde çarpma işlemini şu şekilde tanıtalım: aH ve bH sınıflarının aH ⋅ bH çarpımı abH sınıfıdır.

Bu tanım doğrudur, çünkü аН ⋅ bН kümesi, yani. farklı h, h 1 ∈ H için ahbh 1 formundaki tüm ürünlerin kümesi, her b ∈ G için Hb = bH olması nedeniyle sol koset abH ile çakışır. Aslında, bazı h" ∈ H için hb = bH" olduğundan, ahbh 1 = abh"h 1 ∈ abH olur.

Şimdi bazı x ∈ abH'leri düşünün, yani bazı x ∈ Н 1 için x = abh. Bazı h" ∈ H için bh = h"b olduğundan, bu durumda x = ax"b = ah"b1 ∈ aHbH olur. Bu nedenle AH ⋅ bН = abH.

Ayrıca her a ∈ G için aH ⋅ H = H ⋅ aH = aH ve aH a -1 H = a 1 H ⋅ aH = H'ye sahip olduğumuzu kolaylıkla gösterebiliriz. Bu, desteği G/~ bölüm kümesi olan bir grubu tanımlar. H seti G, sol kosetlerin çarpım işlemi ile eşdeğerlik ilişkisine göre ~H olup, bu işleme göre nötr eleman H alt grubunun desteğidir ve sol kosetin tersi aH, sol koset olacaktır. a -1 H. Bu gruba, H normal böleni ile g grubunun bölüm grubu adı verilir ve g /H ile gösterilir. Bir g grubunun doğal bir f homomorfizmini, (Ax ∈ G)(f(x) = xH) kuralına göre tanıtılan bir g /H bölüm grubuna belirtebiliriz. xH ⋅ yH = xyH olduğundan, herhangi bir x,y ∈ G için f(xy) = xyH = xH⋅ yH = f(x)f(y) ve f gerçekten bir homomorfizmdir. O aradı grubun kanonik homomorfizmi G faktör grubuna g/H.

Örnek 2.24. A. Gerçek sayıların ℝ = = (ℝ, +, 0) katkı grubunu düşünün. Bu grup değişmeli. Değişmeli bir grupta herhangi bir alt grubun normal bölen olacağını hatırlayın. Bu nedenle, normal böleni tam sayıların alt grubudur ℤ = (ℤ, +, 0) (tamsayıların toplam grubu). (Bu gruplar için taşıyıcılarıyla aynı notasyonları benimsedik: sırasıyla ℝ ve ℤ.)

Bu durumda, sol kosetlerin* ℤ alt grubu üzerindeki eşitliği yoluyla tanımlanan ~ ℤ denklik ilişkisinin anlamını açıklığa kavuşturalım.

Sol kosetlerin eşitliği a + ℤ = b + ℤ, herhangi bir m tamsayısı için a + m = b + n olacak şekilde bir n tamsayısı olduğu anlamına gelir, yani. a-b = n-m ∈ ℤ. Tersine, eğer a - b farkı bir tamsayı ise; a -b = n ∈ Z ise a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Dolayısıyla, a~ ℤ b ancak ve ancak a - b ∈ ℤ ise veya başka bir deyişle a ve b ~ ℤ gerçek sayıları ancak ve ancak kesirli kısımları eşitse eşdeğerdir.

*Bu durumda, sol ve sağ arasında ayrım yapmadan basitçe kosetlerden bahsedebiliriz, çünkü normal bir bölen için bu sınıflar eşittir, özellikle de şu anda değişmeli bir grupta "çalıştığımız" için.

Kosetlerin katkı grubu, yani. ℝ grubunun normal bölen ℤ'ya göre faktör grubu ℝ/ℤ şu şekilde oluşturulur: a + ℤ ve b + ℤ sınıflarının toplamı (a + b) + ℤ sınıfına eşittir. a + ℤ = [a] gösterimini kullanarak, [a] + [b] = [a + b] elde ederiz. Bu durumda = ℤ (yani faktör grubunun birimi sıfırın kosetidir - tüm tam sayıların kümesi) ve -[a] = [-a] = (-a) + ℤ. Bir x sayısının kosetinin kesirli kısmı tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edelim (bkz. örnek 1.14.6), yani. [x] = . Bu durumda kanonik homomorfizm şu şekilde verilmiştir: x ↣ [x].

B.Şimdi düşünelim gerçek sayıların toplamsal grubu modulo 1 yani grup S 1 = (: a ∈ ℝ) yarım aralıktaki kosetler ) = . [x] = bir eşleştirme olduğundan ve buna ek olarak,

φ([x] + [y]) = φ([x+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([x]) ⊕ 1 φ ([y]).

Bu, φ'nin S 1 üzerinde ℝ/ℤ'nin bir izomorfizmi olduğu anlamına gelir.

grup SŞekil 1, ℝ/ℤ faktör grubunun “görsel görüntüsü” olarak algılanabilir. Bir faktör grubunun oldukça soyut fikri, taşıyıcılı bir grup şeklinde kristalleşir.