Grupni razdjelnik. Normalni djelitelji grupa. Problemi koje treba samostalno riješiti

Zadatak 1. Provjeriti ispunjenost aksioma grupe za a) skup cijelih brojeva; b) skupove parnih cijelih brojeva;

c) skupovi neparnih cijelih brojeva s obzirom na operaciju zbrajanja. Otopina.

Označimo sa Z 2 n skup parnih cijelih brojeva, a sa Z 2 n -1 skup neparnih cijelih brojeva. Skup Z i skup Z 2 n su zatvoreni prema zbrajanju. Zapravo, zbrajanjem dva cijela broja, dobivamo cijeli broj; zbrajanjem dva cijela parna broja također dobivamo paran cijeli broj. Naprotiv, zbrajanjem dva neparna broja ne dobiva se neparan broj, što znači da skup Z 2 n -1 nije zatvoren prema operaciji zbrajanja.

Provjerimo ispunjenje ostalih aksioma grupe. Zbrajanje je asocijativna operacija. Neutralni element na skupovima Z i Z 2 n s obzirom na zbrajanje je 0. Nadalje, za bilo koji cijeli broj (paran cijeli broj), njegov suprotni broj je također cijeli broj (paran cijeli broj).
– Prema tome, možemo zaključiti da
grupe, i

ne zadovoljava definiciju grupe, kao ni definicije monoida i polugrupe.
Istovremeno, obje grupe
I

su komutativne (Abelove), zbog komutativnosti zbrajanja. Zadatak 2.

c) skupovi neparnih cijelih brojeva s obzirom na operaciju zbrajanja. Dokažite da skup parnih cijelih brojeva čini podskupinu aditivne skupine cijelih brojeva.
– Prethodno je dokazano da
skupina. Istovremeno
– . Dakle, dokazano je da
.

podskupina grupe Zadatak 3.
Pronađite koset klase grupe
.

po podskupini Otopina
. Radi lakšeg označavanja, označimo
Pronađite koset klase grupe
. Lijevi kozeti grupe

predstavljeni su u nastavku:

Očito, lijevi kozeti koincidiraju s odgovarajućim desnim klasama. To je posljedica komutativne prirode zbrajanja. Stoga je skupina parnih cijelih brojeva normalni djelitelj aditivne skupine cijelih brojeva.

Razmatrani primjer, između ostalog, ilustrira niz osnovnih činjenica u vezi s kosetima:

a) jedan od kozeta je sama podgrupa H (u ovom slučaju to je koset H + 0);

b) bilo koje dvije susjedne klase ili se podudaraju (na primjer, H + 0 i H + 2) ili se uopće ne sijeku (na primjer, H + 0 i H + 1);
.

c) skup kozeta (na primjer, lijevih) čini particiju nosača grupe; u ovom slučaju Zadaci za

neovisna odluka

Definicije Podskupina N skupine G nazvao normalan , ako je nepromjenjiv prema konjugacijama, to jest, za bilo koji element n Podskupina iz i bilo koji n skupine g i bilo koji, ako je nepromjenjiv prema konjugacijama, to jest, za bilo koji elementi bilo koji − 1 , element Podskupina :

Sljedeći uvjeti normalnosti podgrupe su ekvivalentni:

Uvjet (1) je logički slabiji od (2), a uvjet (3) je logički slabiji od (4). Stoga se uvjeti (1) i (3) često koriste kada se dokazuje normalnost podgrupe, a uvjeti (2) i (4) se koriste za dokazivanje posljedica normalnosti.

Primjeri

• {e) I skupine- uvijek normalne podskupine skupine. Nazivaju se trivijalnim. Ako nema drugih normalnih podskupina, onda grupa skupine nazivaju jednostavnim.

• Središte grupe je normalna podskupina.

• Komutator grupe je normalna podgrupa.

• Svaka karakteristična podgrupa je normalna, budući da je konjugacija uvijek automorfizam.

• Sve podskupine Podskupina abelska grupa skupine su normalni jer i bilo kojiPodskupina = Podskupinai bilo koji . Neabelova grupa kojoj je svaka podgrupa normalna naziva se Hamiltonovom.

• Grupa paralelnih translacija u prostoru bilo koje dimenzije je normalna podgrupa Euklidske grupe; na primjer, u trodimenzionalnom prostoru rotacija, translacija i rotacija u poleđina dovodi do jednostavnog pomaka.

• U grupi Rubikove kocke, podskupina koja se sastoji od operacija koje djeluju samo na kutne elemente je normalna, budući da nikakva konjugirana transformacija ne bi uzrokovala da takva operacija djeluje na rubni element, a ne na kutni element. Nasuprot tome, podskupina koja se sastoji samo od rotacija gornje strane nije normalna, budući da parovi dopuštaju pomicanje dijelova gornje strane prema dolje.

Svojstva

• Normalnost je očuvana pod surjektivnim homomorfizmima i uzimanjem inverznih slika.
• Normalnost je sačuvana kod konstruiranja izravnog proizvoda.
• Normalna podskupina normalne podskupine ne mora biti normalna u skupini, odnosno normalnost nije tranzitivna. Međutim, karakteristična podskupina normalne podskupine je normalna.
• Svaka podskupina indeksa 2 je normalna. Ako str- najmanji prosti djelitelj reda skupine, zatim bilo koja podskupina indeksa str normalan.
• Ako Podskupina- normalna podskupina u skupine, zatim na skupu lijevih (desnih) kozeta skupine / Podskupina možete unijeti strukturu grupe prema pravilu

• Podskupina je normalan ako i samo ako djeluje trivijalno na lijeve kozete skupine / Podskupina .

Povijesne činjenice

Évariste Galois prvi je shvatio važnost normalnih podskupina.

Linkovi

• Vinberg E. B. Tečaj algebre - M.: Izdavačka kuća Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7

Zaklada Wikimedia.

• 2010.
• Normalni Markovljev algoritam

Normalni potencijal elektrode

Pogledajte što je "normalni djelitelj" u drugim rječnicima:- invarijantna podgrupa, jedan od osnovnih pojmova teorije grupa (vidi Grupa), koju je uveo E. Galois. N. d. je podgrupa H za koju je gH = Hg za bilo koji izbor elementa g grupe G ... Velika sovjetska enciklopedija

NORMALNA PODJELA- normalna podskupina, invarijantna podskupina, podskupina H grupe G, za koju se lijevostrana dekompozicija grupe G u podskupini H podudara s desnom, tj. podskupina takva da za bilo koji element kozeti aH i Ha su jednaki (u smislu... ... Matematička enciklopedija

Normalni nizovi podskupina- Za opći opis teorija grupa, vidi Grupa (matematika) i Teorija grupa. Kurziv označava referencu na ovaj rječnik. # A B C D E E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Normalan red- Za opći opis teorije grupa, pogledajte Grupa (matematika) i Teorija grupa. Kurziv označava referencu na ovaj rječnik. # A B C D E E F G H H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia je topološka grupa, kompaktna kao topološka grupa. prostor. Na primjer, svaka konačna grupa (u diskretnoj topologiji) je algebarska grupa, iako je kompaktna topološka grupa. prostor (u odnosu na topologiju Zariskog) ... Matematička enciklopedija

LEE - KOLČINA TEOREMA- rješiva ​​podgrupa G grupe GL(V) (V je konačnodimenzionalni vektorski prostor nad algebarski zatvorenim poljem) ima normalni djelitelj G1 indeksa najviše gdje p ovisi samo o dim V, tako da u V postoji zastavica nepromjenjiva u odnosu na G1.… … Matematička enciklopedija

TOPOLOŠKA SKUPINA- skup G, na kojem su zadane dvije grupne strukture i topološka struktura. prostore u skladu s uvjetom kontinuiteta grupnih operacija. Naime, preslikavanje izravnog produkta u G mora biti kontinuirano. Podskupina N T. g. je T. g. u... ... Matematička enciklopedija

Uvod 2
1. Definicija i primjeri grupa 4
2. Podskupine 8
3. Cikličke grupe. 13
4. Normalni djelitelji, grupe faktora 17
5. Ideal podskupine unutar grupe. Lagrangeov teorem i posljedice iz njega. 22
6. Korištenje normalnih djelitelja grupa pri rješavanju zadataka 26
Zaključak 29
Literatura 30

Uvod

Viša algebra je dalekosežna, ali sasvim prirodna generalizacija glavnog sadržaja školskog tečaja elementarne algebre. Linearna algebra, koja je velika znanost posvećena uglavnom teoriji matrica i srodnoj teoriji linearnih transformacija vektorskih prostora, također uključuje teoriju oblika, teoriju invarijanti i tenzorsku algebru, koja ima važnu ulogu u diferencijalnoj geometriji. Teorija vektorskih prostora dalje se razvija izvan algebre, u funkcionalnoj analizi (beskonačnodimenzionalni prostori). Prema raznolikosti i značaju primjena kako u matematici tako iu mehanici, fizici i tehničke znanosti Linearna algebra ostaje prva među mnogim granama algebre.
Teorija polja pokazala se prirodnim područjem za daljnji razvoj teorije jednadžbi, a njezine glavne grane - teorija algebarskih polja brojeva i teorija polja algebarskih funkcija - povezale su je, odnosno, s teorijom brojeva i teorijom funkcija. kompleksne varijable. Viši tečaj algebre uključuje elementarni uvod u teoriju polja, a neki dijelovi tečaja - polinomi u nekoliko nepoznanica, normalni oblik matrice - prezentirani su odmah za slučaj proizvoljnog fundamentalnog polja.
Širi od pojma polja je pojam prstena. Za razliku od slučaja polja, ovdje više nije potrebna izvedivost dijeljenja, a osim toga, množenje može biti nekomutativno, pa čak i neasocijativno. Najjednostavniji primjeri prstenova su skup svih cijelih brojeva (uključujući i negativne), sustav polinoma u jednoj nepoznanici i sustav realnih funkcija realne varijable. Teorija prstena uključuje tako stare grane algebre kao što su teorija hiperkompleksnih sustava i teorija ideala, povezana je s nizom matematičkih znanosti / posebno s funkcionalnom analizom, a već je našla neke izlaze u fizici. Kolegij više algebre, u biti, sadrži samo definiciju pojma prstena.
Teorija grupa ima još veći raspon primjena. Grupa je algebarski sustav s jednom osnovnom operacijom, a ta operacija mora biti asocijativna, iako ne nužno i komutativna, te mora imati inverznu operaciju - dijeljenje, ako se glavna operacija zove množenje. Takva je, na primjer, zbirka cijelih brojeva razmatrana s obzirom na operaciju zbrajanja, kao i zbirka pozitivnih realnih brojeva razmatrana s obzirom na operaciju množenja. Svirali su bendovi velika uloga već u Galoisovoj teoriji, u pitanju rješivosti jednadžbi u radikalima, sada su oni važan alat u teoriji polja, u mnogim granama geometrije, u topologiji, a također i izvan matematike - u kristalografiji, u teorijskoj fizici. Općenito, u pogledu širine područja primjene, teorija grupa je odmah iza linearne algebre među svim granama algebre.
Predmet ovog rada su normalni djelitelji grupa.
Zadaci:
1. Definirajte skupinu i podskupinu, razmotrite primjere skupina.
2. Razmotrimo cikličke grupe.
3. Razmotrite koncept normalnih djelitelja
4. Navedite Lagrangeov teorem i posljedice iz njega.
5. Razmotrite korištenje normalnih grupnih djelitelja pri rješavanju problema.

Popis korištenih izvora

1. Kulikov L.Ya. i teorija brojeva: Udžbenik. priručnik za pedagoške zavode. – : Viša škola, 1979. – 559 str., ilustr.
2. Kostrikin A.I. Uvod u algebru: Udžbenik za sveučilišta. – M.: Fizmatlit, 2004. – 272 str.
3. Faddeev D.K. Zbirka zadataka iz više algebre. – M.: Nauka, 1977. – 288 str.
4. Kurosh A.G. Viši tečaj algebre. – M.: Nauka, 1968.
5. Okunev L.Ya. Zbirka zadataka iz više algebre - M.: Prosveshchenie, 1964.

Ukupni volumen: 30 str.

Godina: 2013

Neka su zadane grupe g 1 = (G 1 , ⋅, 1) i g 2 = (G 2 , ⋅, 1) Preslikavanje f: G 1 → G 2 zove se homomorfizam grupe g 1 u grupu. g 2 (homomorfizam grupa) ako za bilo koje x, y ∈ G 1 vrijedi jednakost f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y), tj. slika umnoška bilo koja dva elementa grupe g 1 pod preslikavanjem f jednaka je umnošku njihovih slika u grupi g 2 .

Ako je preslikavanje f surjektivno (bijektivno), onda se ono naziva epimorfizam (izomorfizam) grupa. U ovom slučaju također se govori o epimorfizmu (izomorfizmu) grupe g 1 na grupu g 2 .

Primjedba 2.5. Operacije grupa g 1 i g 2 označili smo na isti način, kao što se obično radi za algebre istog tipa, iako se, naravno, radi o različitim operacijama različitih grupa.

Primjer 2.21. Neka je g 1 = (ℤ, +, 0) aditivna grupa cijelih brojeva, a g 2 = ℤ + k- aditivna skupina ostataka po modulu k.

Definirajmo preslikavanje f na sljedeći način: za svaki cijeli broj m, slika f(m) jednaka je ostatku od m podijeljenom s k. Možete provjeriti da za bilo koju cjelobrojnu vrstu vrijedi jednakost f(m + n) = f(m ⊕ k f(n), tj. za cijele brojeve ostatak od dijeljenja zbroja s k jednak zbroju modulo k ostatka od dijeljenja s k svakog člana.

Prema tome, ovo preslikavanje je homomorfizam grupe g 1 u grupu g 2 . Nadalje, budući da je svaki cijeli broj od 0 do k - 1 ostatak dijeljenja s k nekog broja, tada je preslikavanje f također epimorfizam grupe g 1 na grupu g 1 .

Teorem 2.14. Neka su g 1, g 2 proizvoljne grupe. Ako je f: g 1 → g 1 homomorfizam, tada:

1. slika jedinice (neutralni element) grupe g 1 pod preslikavanjem f je jedinica grupe g 2, tj. f(1) = 1;
2. za bilo koji element x grupe g 1 slika elementa x -1 je element -1, inverzan elementu f(x), tj. f(x -1) = -1.

◀ Prema definiciji homomorfizma, za proizvoljan x ∈ g 1 vrijedi f(x) ⋅ f(1) = f(x ⋅ 1). Dalje, f(x ⋅ 1) = f(x), tj. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Prema tome, f(1) = (f(x)) -1 ⋅ f(x) = 1, tj. f(1) = 1

Dokažimo drugu tvrdnju teorema. Koristeći se definicijom homomorfizma i već dokazanom prvom tvrdnjom teorema, dobivamo

f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, tj. f(x -1) = -1

Skup f(G 1) - slika nosača grupe g 1 pod homomorfizmom f - zatvoren je prema množenju grupe g 2. Doista, ako je g 2, g 2 " ∈ f(g 1), tada postoje g 1, g 1 " ∈ g 1 takvi da je f (g 1) = g 2 i f (g 1 ") = g 2 ". Zatim

g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).

Iz teorema 2.14 slijedi da f(g 1) sadrži identitet te grupe i, zajedno sa svakim elementom, njen inverzni element. To znači da je moguće definirati podgrupu grupe g 2 čiji će nosač biti skup f(g 1). Ova grupa se naziva homomorfna slika grupe g 1 pod homomorfizmom f.

skupina K jednostavno se zove homomorfna slika grupe g ako postoji homomorfizam grupe g na grupu K . Dakle, grupa ℤ * k za bilo koji k > 1 je homomorfna slika aditivne grupe cijelih brojeva (vidi primjer 2.21).

Pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 2.22. Razmotrimo multiplikativnu grupu (C\ (0), ⋅, 1) kompleksnih brojeva s uobičajenom operacijom množenja kompleksnih brojeva. Lako je razumjeti da ova grupa nije ništa drugo nego multiplikativna grupa polja kompleksnih brojeva.

Uzmite u obzir i grupu M 2 nesingularne kvadratne matrice drugog reda s operacijom množenja matrica (vidi primjer 2.9.e).

Definirajmo preslikavanje f skupa ℂ kompleksnih brojeva u skup kvadratnih matrica drugog reda, pretpostavljajući da je za proizvoljan kompleksni broj različit od nule a + bi

Pokažimo da je f homomorfizam grupe. S jedne strane,

f[(a + bi)(s + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =

S druge strane,

Stoga,

f[(a + bi)(c + di)] = f(a + bi) f(c + di).

Dakle, mapa f je homomorfizam grupa, a homomorfna slika multiplikativne grupe kompleksnih brojeva pod f je podgrupa K grupe matrica M 2, koja se sastoji od matrica oblika Ovdje smo uzeli u obzir da je svaka matrica oblika slika određenog kompleksnog broja (naime a + bi) pod mapom f. Skupina K - vlastita podskupina grupe M 2 . #

Formulirajmo bez dokaza jedno važno svojstvo grupnih homomorfizama.

Teorem 2.15. Ako je f homomorfizam grupe g u grupu K, a g je homomorfizam grupe K u grupu L, tada je kompozicija mapa f॰g homomorfizam grupe g u grupu L. #

Razmotrimo neka svojstva grupnih izomorfizama.

Teorem 2.16. Ako je f: g 1 → g 2 izomorfizam grupe g 1 na grupu g 2 tada je preslikavanje f -1 inverzno preslikavanju f izomorfizam grupe g 2 na grupu g 1 .

◀Neka su x i y proizvoljni elementi grupe g 2, neka je također x = f(u), i y = f(v), gdje su u i v elementi grupe g 1.

f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),

one. preslikavanje f -1 je homomorfizam druge grupe u prvu.

Ali budući da je preslikavanje inverzno bijekciji bijekcija, tada je f -1 izomorfizam grupe g 2 na grupu g 1 . Grupe g i K nazivaju se izomorfan

, ako postoji izomorfizam jednog od njih prema drugom. U ovom slučaju koristi se oznaka g ≅ K.

Izomorfne grupe sa stajališta svojih algebarskih svojstava su apsolutno identične, iako njihovi elementi mogu imati različite prirode. Vratimo se s tim u vezi na primjer 2.22. Lako je provjeriti da je preslikavanje a skupa tamo definiranih kompleksnih brojeva na skup kvadratnih matrica posebnog oblika bijekcija. Korolar - Prema tome, multiplikativna grupa kompleksnih brojeva i grupa matrica naznačenog tipa s operacijom množenja matrica su izoizomorfne, iako elementi tih grupa na prvi pogled nemaju ništa zajedničko među sobom. Definicija 2.8. Jezgra homomorfizma f grupe g u grupu

DO naziva se inverzna slika Ker f jedinice grupe g pod homomorfizmom f: Kerf = f -1 (1)⊆ G.

Primjer 2.23. Jezgra homomorfizma razmatranog u primjeru 2.21 je skup svih cijelih brojeva djeljivih s k.

Teorem 2.17

Ako je a, b ∈ Ker f, tj. f(a) = f(b) = 1, tada je f(ab) = f(a)f(b) = 1 i ab ∈ Kerf. Jasno je da je 1 ∈ Kerf, jer je f(1) = 1 (vidi teorem 2.14). Ako je a ∈ Kerf, tada je f(a -1) = -1 = 1 -1 = 1, tj. i a -1 ∈ Kerf.

Jezgra homomorfizma danog u primjeru 2.21 je podskupina aditivne grupe cijelih brojeva koja se sastoji od svih višekratnika k.

Podgrupa H grupe g naziva se normalna podgrupa (normalni djelitelj) grupa g ako je aH = Na za bilo koji a ∈ G.

U komutativnoj grupi, kao što je gore navedeno, aH = = Ha. Stoga je u ovom slučaju bilo koja podskupina normalni djelitelj.

Neka je H = (H, ⋅, 1) podgrupa grupe g = (G, ⋅, 1). Za fiksne elemente a, b ∈ G, neka aHb označava skup svih umnožaka oblika ahb, gdje je h ∈ H. Zbog asocijativnosti grupne operacije ovaj je zapis točan.

Teorem 2.18. Podgrupa H = (H, ⋅, 1) je normalna podgrupa grupe g = (G, ⋅, 1) ako i samo ako aHa -1 ⊆ H za bilo koji a ∈ G.

◀Ako je H normalni djelitelj, tada je za svaki a ∈ G aH = = Na, tj. za svaki h ∈ H postoji h 1 ∈ H takav da je ah = = h 1 a. Neka je element x ∈ aHa -1, tj. x = aha -1 za neki h ∈ H. Kako je ah = h 1 a, onda je x = h 1 aa -1 = h 1 ∈ H i prema tome aHa -1 ⊆ H.

Obrnuto, ako je aHa -1 ⊆ H, tada svaki element x = aha -1, gdje je h ∈ H, također pripada skupu H, tj. aha -1 = h 1 za neki h 1 ∈ H. Dakle, množenjem posljednje jednakosti s a s desne strane, dobivamo ah = h 1 a, tj. element ah iz lijevog koseta aH također pripada desnom kosetu Ha. Dakle, aH ⊆ Na.

Uzmimo sada za proizvoljan a ⊆ G element a -1 inverzan a i za njega napišimo inkluziju a -1 On ⊆ H (prisjetimo se da je (a -1) -1 = a). Rezonirajući kao gore, dobivamo da za neki h, h 1 ∈ H vrijedi jednakost a -1 h = h 1 a -1, tj.

ha = ah 1 i Ha ⊆ aH. Dakle, aH = Ha i H je normalni djelitelj.

Pokazuje se da postoji veza između pojma normalnog djelitelja i pojma homomorfizma, čime se nastavlja i na novoj razini produbljuje veza između pojmova preslikavanja i klase ekvivalencije, koja nam je već poznata iz 1. poglavlja. Teorem 2.19. K Jezgra homomorfizma f grupe g u grupu

je normalni djelitelj grupe g.

Za svaki y ∈ Ker f i bilo koji a ∈ G imamo

f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1

Neka je H = (H, ⋅, 1) normalni djelitelj grupe g = (G, ⋅, 1). Promotrimo skup svih lijevih kozeta (aH: a ∈ G). To neće biti ništa više od kvocijentnog skupa skupa G prema odnosu ekvivalencije ~ H definiranom gore (vidi teorem 2.11).

Uvedimo operaciju množenja na skupu svih lijevih kozeta na sljedeći način: umnožak aH ⋅ bH klasa aH i bH je klasa abH.

Ova definicija je točna, jer skup aN ⋅ bN, tj. skup svih umnožaka oblika ahbh 1 za različite h, h 1 ∈ H, zbog činjenice da je Hb = bH za svaki b ∈ G, podudara se s lijevim kozetom abH. Doista, kako je hb = bH" za neki h" ∈ H, tada je ahbh 1 = abh"h 1 ∈ abH.

Sada razmotrimo neki x ∈ abH, tj. x = abh za neki x ∈ N 1 . Kako je bh = h"b za neki h" ∈ H, onda je x = ax"b = ah"b1 ∈ aHbH. Stoga je aH ⋅ bH = abH.

Dalje možemo lako pokazati da za svaki a ∈ G vrijedi aH ⋅ H = H ⋅ aH = aH i aH a -1 H = a 1 H ⋅ aH = H. Ovo definira grupu čiji je nosač kvocijent skup G/~ H skup G u odnosu na relaciju ekvivalencije ~ H s operacijom množenja lijevih koseta, a neutralni element u odnosu na tu operaciju je nosač podgrupe H, a inverz lijevom kosetu aH bit će lijevi koset a -1 H. Ova grupa se naziva kvocijent grupe g po normalnom djelitelju H i označava se g /H. Možemo naznačiti prirodni homomorfizam f grupe g u kvocijent grupu g /H, koja se uvodi prema pravilu: (Ax ∈ G)(f(x) = xH). Kako je xH ⋅ yH = xyH, tada je za bilo koji x,y ∈ G f(xy) = xyH = xH⋅ yH = f(x)f(y) i f je doista homomorfizam. Zovu ga kanonski homomorfizam grupe g faktorskoj skupini g/h.

Primjer 2.24. A. Razmotrimo aditivnu skupinu ℝ = = (ℝ, +, 0) realnih brojeva. Ova grupa je komutativna. Prisjetimo se da će u komutativnoj grupi svaka podgrupa biti normalni djelitelj. Stoga je njegov normalni djelitelj podskupina cijelih brojeva ℤ = (ℤ, +, 0) (aditivna skupina cijelih brojeva). (Za ove skupine usvojili smo iste oznake kao i za njihove nositelje: ℝ i ℤ, redom.)

Pojasnimo značenje relacije ekvivalencije ~ ℤ definirane kroz jednakost lijevih kozeta* nad podskupinom ℤ u ovom slučaju.

Jednakost lijevih kozeta a + ℤ = b + ℤ znači da za svaki cijeli broj m postoji cijeli broj n takav da je a + m = b + n, tj. a-b = n-m ∈ ℤ. Obrnuto, ako je razlika a - b cijeli broj, tj. a -b = n ∈ Z, tada je a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ.

Dakle, a~ ℤ b ako i samo ako su a - b ∈ ℤ, ili, drugim riječima, realni brojevi a i b ~ ℤ - ekvivalentni ako i samo ako su im razlomački dijelovi jednaki.

*U ovom slučaju možemo jednostavno govoriti o kosetima, bez razlikovanja lijevog i desnog, budući da su za normalan djelitelj te klase jednake, pogotovo jer sada “radimo” u komutativnoj grupi.

Aditivnu skupinu kozeta, tj. Grupa faktora ℝ/ℤ grupe ℝ pomoću normalnog djelitelja ℤ konstruirana je na sljedeći način: zbroj klasa a + ℤ i b + ℤ jednak je klasi (a + b) + ℤ. Uvođenjem oznake a + ℤ = [a] dobivamo [a] + [b] = [a + b]. U ovom slučaju = ℤ (tj. jedinica grupe faktora je koset nula - skup svih cijelih brojeva), i -[a] = [-a] = (-a) + ℤ. Obratimo pozornost na činjenicu da je koset broja x jednoznačno određen njegovim razlomačkim dijelom (vidi primjer 1.14.6), tj. [x] = . Kanonski homomorfizam u ovom slučaju dan je na sljedeći način: x ↣ [x]. b. Razmotrimo sada aditivna skupina realnih brojeva po modulu 1, tj. skupina

S

1 = (: a ∈ ℝ) kozeti u poluintervalu ) = . Budući da je [x] = bijekcija i, dodatno,

skupina aditivna skupina realnih brojeva po modulu 1φ([x] + [y]) = φ([x+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([x]) ⊕ 1 φ ([y]).